.. مطلوب مطويه ..][ قدراتي تميزني عن غيري ][

بسم الله الرحمن الرحيم



السلام عليكم ورحمة الله وبركاته


اعضاء ومشرفي منتديات غرابيل ..


.. مطلوب مطويه ..][ قدراتي تميزني عن غيري ][ .. او برنامج متكامل عنه ،،



ولكم مني جزيل الشكر والتقدير

مطلوب مطويه ..][ قدراتي تميزني عن غيري ][
على وجه السرعة
الله يجزاكم الجنة

أضرار شرب الماء وأنت واقف..!!
عن أبي سعيد الخدري رضي الله عنه أن النبي صلى الله عليه و سلم زجر
عن الشرب قائماً رواه مسلم .
و عن أنس وقتادة رضي الله عنهم عن النبي صلى الله عليه و سلم " أنه نهى أن يشرب الرجل قائماً "
قال قتادة : فقلنا فالأكل؟ فقال : ذاك أشر و أخبث "رواه مسلم و الترمذي
و عن أنس بن مالك رضي الله عنه قال :"
نهى رسول الله صلى الله عليه و سلم عن الشرب قائماً و عن الأكل قائماً و عن المجثمة و الجلالة و الشرب من فيّ السقاء ".
الإعجاز الطبي :
الدكتور عبد الرزاق الكيلاني * أن الشرب و تناول الطعام جالساً أصح و أسلم و أهنأ و أمرأ حيث يجري ما يتناول الآكل والشرب على جدران المعدة بتؤدة و لطف . أما الشرب واقفاً فيؤدي إلى تساقط السائل بعنف إلى قعر المعدة و يصدمها صدماً ،و إن تكرار هذه العملية يؤدي مع طول الزمن إلى استرخاء المعدة و هبوطها و ما يلي ذلك من عسر هضم . و إنما شرب النبي واقفاً لسبب اضطراري منعه من الجلوس مثل الزحام المعهود في المشاعر المقدسة ، و ليس على سبيل العادة و الدوام . كما أن الأكل ماشياً ليس من الصحة في شيء و ما عرف عند العرب والمسلمين.

و يرى الدكتور إبراهيم الراوي
أن الإنسان في حالة الوقوف يكون متوتراً و يكون جهاز التوازن في مراكزه العصبية في حالة فعالة شديدة حتى يتمكن من السيطرة على جميع عضلات الجسم لتقوم بعملية التوازن و الوقوف منتصباً.
وهي عملية دقيقة يشترك فيها الجهاز العصبي العضلي في آن واحد مما يجعل الإنسان غير قادر للحصول على الطمأنينة العضوية التي تعتبر من أهم الشروط الموجودة عند الطعام والشراب ، هذه الطمأنينة يحصل عليها الإنسان في حالة الجلوس حيث تكون الجملة العصبية والعضلية في حالة من الهدوء و الاسترخاء و حيث تنشط الأحاسيس و تزداد قابلية الجهاز الهضمي لتقبل الطعام و الشراب و تمثله بشكل صحيح .


و يؤكد د. الراوي
أن الطعام و الشراب قد يؤدي تناوله في حالة الوقوف ( القيام) إلى إحداث انعكاسات عصبية شديدة تقوم بها نهايات العصب المبهم المنتشرة في بطانة المعدة ، وإن هذه الانعكاسات إذا حصلت بشكل شديد و مفاجئ فقد تؤدي إلى انطلاق شرارة النهي العصبي الخطيرة Vagal Inhibation لتوجيه ضربتها القاضية للقلب ، فيتوقف محدثاً الإغماء أو الموت المفاجئ .
كما أن الاستمرار على عادة الأكل و الشرب واقفاً تعتبر خطيرة على سلامة جدران المعدة و إمكانية حدوث تقرحات فيها حيث يلاحظ الأطباء الشعاعيون أن قرحات المعدة تكثر في المناطق التي تكون عرضة لصدمات اللقم الطعامية و جرعات الأشربة بنسبة تبلغ 95% من حالات الإصابة بالقرحة .
كما أن حالة عملية التوازن أثناء الوقوف ترافقها تشنجات عضلية في المريء تعيق مرور الطعام بسهولة إلى المعدة و محدثة في بعض الأحيان آلاماً شديدة تضطرب معها وظيفة الجهاز الهضمي و تفقد صاحبها البهجة عند تناوله الطعام و شرابه

( 1 ) المجموعة

المجموعة : هي تجمع لأشياء معرف تعريفا تاما 0
مثل مجموعة الخلفاء الراشدين – مجموعة أركان الإسلام – مجموعة الصلوات الخمس – مجموعة العشرة المبشرين بالجنة
كل شيء تتضمنه المجموعة هو عنصر من عناصر المجموعة 0
مثال : الحج ركن من أركان الإسلام ← الحج عنصر من عناصر مجموعة أركان الإسلام 0
الظهر من الصلوات الخمس ← الظهر عنصر من عناصر مجموعة الصلوات الخمس 0
مثال : عناصر مجموعة الخلفاء الراشدين هي : أبو بكر ، عمر ، عثمان ، علي 0


س1: في الجدول التالي 0 بين أي العبارات تمثل مجموعة وأيها لا تمثل مجموعة ؟

العبارة تمثل – لا تمثل
أيام الأسبوع تمثل
الحواس الخمس تمثل
المساجد الواسعة في مدينة الرياض لا تمثل
الغزوات في عهد الرسول صلى الله عليه وسلم تمثل
الكتب الثقيلة الوزن لا تمثل
ألوان علم المملكة تمثل
أشهر السنة الهجرية تمثل
عواصم دول مجلس التعاون الخليجي تمثل
المساجد التي يشد إليها الرحال تمثل
الملاعب الجميلة في المملكة لا تمثل
التمارين السهلة في كتاب الرياضيات لا تمثل
الأعداد الأصغر من 7 تمثل
الأعداد الفردية الأصغر من 7 تمثل
الأعداد الأكبر من 4 والأصغر من 9 تمثل

س2: أكمل الجدول التالي :

المجموعة عناصر المجموعة
أيام الأسبوع السبت ، الأحد ، الاثنين ، الثلاثاء ، الأربعاء ، الخميس ، الجمعة
الحواس الخمس البصر ، السمع ، الشم ، الذوق ، اللمس
ألوان الطيف الأحمر ، الأصفر ، البرتقالي ، السماوي ، النيلي ، الأخضر ، البنفسجي
المدن المقدسة في المملكة مكة المكرمة ، المدينة المنورة ، القدس
حروف كلمة صالح ص ، ا ، ل ، ح
ألوان علم المملكة أبيض ، أخضر
أشهر السنة الهجرية محرم،صفر،ربيع1،ربيع2،جمادى 1،جمادى2،رجب،شعبان،رمضان،ش وال،ذوالقعدو،ذوالحجة
عواصم دول مجلس التعاون الخليجي الرياض ، الكويت ، الدوحة ، المنامة ، مسقط ، أبو ظبي ، صنعاء
المساجد التي يشد إليها الرحال المسجد الحرام ، المسجد النبوي ، المسجد الأقصى
الأعداد الزوجية الأصغر من 11 0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10
أرقام العدد 38194 4 ، 9 ، 1 ، 8 ، 3
الأعداد الأصغر من 7 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6
الأعداد الفردية الأصغر من 7 1 ، 3 ، 5
الأعداد الأكبر من 4 والأصغر من 9 5 ، 6 ، 7 ، 8

( 2 ) كتابة المجموعة وتمثيلها
لكتابة المجموعة : نكتب عناصرها داخل القوسين { } بدون تكرار هذه العناصر واضعين فاصلة بين كل عنصر وآخر0
مثال : أرمز لمجموعة حروف كلمة رياضيات بالرمز س 0 ثم اكتب هذه المجموعة بذكر جميع عناصرها 0
الحل : س = { ر ، ي ، ا ، ض ، ت } لاحظ أننا لم نكرر حرفي الألف و الياء 0
نرمز لكل عنصر ينتمي إلى المجموعة بالرمز ∈ ولكل عنصر لا ينتمي إلى المجموعة بالرمز ∉ 0
مثال : إذا كانت ص = { 2 ، 3 ، 4 } فإن 2 ∈ ص ، 3 ∈ ص ، 4 ∈ ص ، 5 ∉ ص ، 7 ∉ ص ، 8 ∉ ص
لتمثيل المجموعة بشكل فن نحيط عناصر المجموعة بخط مغلق ونضع
رمز المجموعة بالقرب من هذا الخط كما في الشكل المقابل 0
مثال : مثل بشكل فن المجموعة ص والتي عناصرها 2 ، 3 ، 4
س1: في الجدول التالي : اكتب بذكر جميع العناصر كلا من المجموعات التالية :
المجموعة كتابة المجموعة بذكر جميع عناصرها
س = مجموعة أيام الأسبوع س = {السبت ، الأحد ، الاثنين ، الثلاثاء ، الأربعاء ، الخميس ، الجمعة }
ص = مجموعة الحواس الخمس ص = {البصر ، السمع ، الشم ، الذوق ، اللمس }
ع = مجموعة ألوان الطيف ع = {الأحمر ، الأصفر ، البرتقالي ، السماوي ، النيلي ، الأخضر ، البنفسجي }
ج = مجموعة حروف كلمة معلم ج ={م ، ع ، ل }
ك = مجموعة ألوان علم المملكة ك = {أبيض ، أخضر}
ل = مجموعة الأعداد الزوجية الأصغر من 11 ل = {0 ، 2 ، 4 ، 6 ، 8 ، 10 }
ف = مجموعة أرقام العدد 34134 ف = {4 ، 3 ، 1 }
ق = مجموعة الأعداد الأصغر من 7 ق = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 }
ح = مجموعة الأعداد الفردية الأصغر من 7 ح = {1 ، 3 ، 5 }
و = مجموعة الأعداد الأكبر من 4 والأصغر من 9 و = {5 ، 6 ، 7 ، 8 }

س2: أملأ الفراغات التالية باستعمال أحد الرمزين ∈ ، ∉ :
الدمام ∈ مجموعة المدن السعودية البحرين ∈ مجموعة الدول العربية م ∈ مجموعة حروف كلمة عمر
الصيف ∈ مجموعة فصول السنة الجمل ∈ مجموعة الحيوانات الأليفة 3 ∉ مجموعة أرقام العدد 546
طلحة ∉ مجموعة الخلفاء الراشدين جدة ∈ مجموعة الموانئ السعودية 7 ∉ مجموعة الأعداد الزوجية

س3: لاحظ تمثيل فن للمجموعات س ، ص ، ع ثم أملأ الفراغات بأحد الرمزين ∈ ، ∉ 0
2 ∈ س 3 ∈ ص 2 ∉ ع
3 ∈ س 4 ∉ ص 6 ∈ ع
5 ∈ س 6 ∉ ص 7 ∈ ع
8 ∉ س 7 ∉ ص 8 ∈ ع
9 ∉ س 8 ∈ ص 9 ∈ ع

س4 : مثل بشكل فن كلا من المجموعات التالية :
س = { 5 ، 6 ، ب ، د }
س = { ب ، ف ، د ، ر }
ص = { ل ، ب ، م ، ر }
س = { 5 ، 6 }
ص = { 6 ، 7 }
ع = { 6 ، 8 }


( 3 ) المجموعات المتساوية والمجموعات المنتهية
تكون المجموعتان متساويتين : إذا كانت عناصر المجموعة الأولى هي نفس عناصر المجموعة الثانية والعكس 0
مثال : إذا كانت س = { 5 ، 6 ، 7 } ، ص = { 5 ، 6 ، 7 } فإن س = ص ( ترتيب العناصر غير مهم )
المجموعة المنتهية : هي التي يمكن الانتهاء من كتابة عناصرها 0 أو يمكن الانتهاء من عد عناصرها 0
المجموعة غير المنتهية : هي التي لا يمكن الانتهاء من كتابة عناصرها 0 أو لا يمكن الانتهاء من عد عناصرها 0
مثال : س = { 1 ، 2 ، 3 } مجموعة منتهية لأنه يمكننا الانتهاء من كتابة أو عد عناصرها 0
ص = { 1 ، 2 ، 3 ، .......... } مجموعة غير منتهية لأنه لا يمكننا الانتهاء من كتابة أو عد عناصرها 0

س1: ما قيمة س لكي تصبح كل من العبارات التالية صحيحة :

{ 2 ، 3 ، س } = { 2 ، 3 ، 5 } س = 5 0

{ س ، * ، # } = { ^ ، * ، # } س = ^ 0

{ م ، ق ، ل } = { م ، س ، ل } س = ق 0

{ السعودية ، العراق ، سوريا ، الهند } = { العراق ، الهند ، سوريا ، س } س = السعودية 0

مجموعة حروف كلمة معلم = { ع ، ل ، س } س = م 0

مجموعة أرقام العدد 7926 = { 2 ، 6 ، س ، 9 } س = 7 0

{ أحمد ، صالح ، س ، فهد } = { أحمد ، صالح ، خالد ، فهد } س = خالد 0

س2: أكمل الجدول التالي :

المجموعة منتهية – غير منتهية
مجموعة الدول العربية منتهية
مجموعة سور القرءان الكريم منتهية
مجموعة الأعداد الأكبر من 11 غير منتهية
مجموعة المسلمين في العالم منتهية
مجموعة أرقام العدد 8491 منتهية
مجموعة الأعداد الزوجية 2 ، 4 ، 6 ، ................ غير منتهية
س = { 3 ، 4 ، 5 ، 6 } منتهية
مجموعة الأعداد الفردية 1 ، 3 ، 5 ، ................. غير منتهية
مجموعة مضاعفات العدد 5 غير منتهية
مجموعة الأعداد الأكبر من 4 والأصغر من 9 منتهية

س3: ضع علامة ( صح ) أو علامة ( خطأ ) أمام كل من العبارات التالية :
• مجموعة حروف كلمة بلح = مجموعة حروف كلمة حلب ( صح ) 0

• مجموعة الحروف الهجائية مجموعة منتهية ( صح ) 0

• مجموعة الأعداد الأولية مجموعة منتهية ( خطأ ) 0

• الطلاب المتميزون في المدرسة لا يحددون مجموعة ( صح ) 0

• 3 ∈ مجموعة قواسم العدد 12 ( صح ) 0

( 4 ) المجموعة الجزئية
تكون ص مجموعة جزئية من س إذا كانت جميع عناصر ص موجودة في س 0 ( لاحظ في الرسم أن ص موجودة داخل س )
إذا كانت ص مجموعة جزئية من س فإننا نرمز لها بالرمز ص ⊂ س
إذا كانت ص مجموعة غير جزئية من س فإننا نرمز لها بالرمز ص ⊄ س
مثال :إذا كانت س = { 5 ، 6 ، 7 ، 8 } ، ص = { 5 ، 6 ، 7 } فإن ص ⊂ س ، س ⊄ ص
كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها 0
المجموعة الخالية : هي المجموعة التي لا يوجد بها عناصر ونرمز لها بالرمز { } أو ø
المجموعة الخالية مجموعة جزئية من أي مجموعة 0

س1: لاحظ الشكل المقابل ثم أكمل الفراغات بأحد الرمزين ( ⊂ ، ⊄ ) :
ل ⊂ ع س ⊄ ل ص ⊄ ل ع ⊄ ل
ل ⊂ س س ⊄ ص ص ⊄ س ع ⊄ س
ل ⊂ ص س ⊂ ع ص ⊂ ع ع ⊄ ص

س2: إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 } فأكمل الفراغات بأحد الرمزين ( ⊂ ، ⊄ ) :
{ 2 ، 3 ، 4 } ⊂ س { 4 ، 5 } ⊂ س { 4 ، 7 } ⊄ س
{ 5 ، 6 ، 8 } ⊄ س س ⊂ س { } ⊂ س
{ 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 } ⊂ س ø ⊂ س { 4 } ⊂ س
س3: أكمل الجدول التالي :
المجموعة خالية – غير خالية
مجموعة الدول العربية في قارة أوروبا خالية
مجموعة سور القرءان الكريم غير خالية
مجموعة الأعداد الأكبر من 11 غير خالية
مجموعة طلاب فصلك الذين يزيد وزنهم عن 1000 كلغم خالية
س = { 3 ، 4 ، 5 ، 6 } غير خالية
مجموعة الأنهار في المملكة خالية
مجموعة الكنائس في المملكة خالية
مجموعة المساجد في المملكة غير خالية

س4: إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 } ، ص = { 3 ، 4 ، 5 } فأكمل الفراغات بأحد الرموز (∈ ، ∉ ، ⊂ ، ⊄ ) :
4 ∈ س 4 ∈ ص { 4 } ⊂ س { 4 } ⊂ ص
6 ∉ ص { 2 ، 6 } ⊂ س { } ⊂ س { } ⊂ ص
س ⊂ س س ⊄ ص ص ⊂ س ص ⊂ ص
5 ∈ ص 2 ∉ ص 7 ∉ س 6 ∉ ص
{ 2 ، 3 ، 4 ، 5 } ⊂ س { 3 ، 4 ، 5 } ⊂ س { 3 ، 4 ، 5 } ⊂ ص

( 5 ) العمليات على المجموعات
تقاطع مجموعتين س ، ص هو المجموعة التي عناصرها تنتمي إلى س وإلى ص ( يعني نأخذ العناصر المشتركة بين س ، ص )
نرمز للتقاطع بالرمز ∩
نقول عن مجموعتين أنهما منفصلتان إذا كان س ∩ ص = ø ( يعني لا يوجد تقاطع بينهما )
اتحاد مجموعتين س ، ص هو المجموعة التي عناصرها تنتمي إلى س أو إلى ص ( يعني نأخذ عناصر المجموعتين بدون تكرار )
نرمز للإتحاد بالرمز ∪
مثال: إذا كانت س = { 3 ، 4 ، 5 } ، ص = { 3 ، 4 ،6 }
فإن س ∩ ص = { 3 ، 4 }
س ∪ ص = { 3 ، 4 ، 5 ، 6 }

س1: لاحظ أشكال فن ثم أوجد :



س ∩ ص = { 7 } س ∩ ص = { ب ، د }
س ∪ ص = { 8 ، 7 ، 9 } س ∪ ص = { أ ، م ، ب ، د ، و ، ف }

س2: أكمل الجدول التالي :

س ص س ∩ ص س ∪ ص
{ 1 ، 2 ، 5 } { 2 ، 3 ، 7 } { 2 } { 1 ، 2 ، 5 ، 3 ، 7 }
{ أ ، ب ، د ، م } { ف ، ب ، و ، م } { ب ، م } { أ ، ب ، د ، م ، ف ، و }
{ فهد ، حمد ، سعد } { صالح ، خالد } { } { فهد ، حمد ، سعد ، صالح ، خالد }
{ △ ، ◇ ، ◉ ، □ } { △ ، ◉ ، ⋈ ، ◇ } { △ ، ◉ ، ◇ } { △ ، ◇ ، ◉ ، □ ، ⋈ }
{ } { 4 ، 5 ، 9 } { } { 4 ، 5 ، 9 }

س3: إذا كانت س = { ب ، د ، 3 ، 8 } ، ص = { م ، 3 ، 5 ، و } فأوجد س ∩ ص ، س ∪ ص ومثل كلا منهما بشكل فن :
س ∩ ص = ................................... س ∪ ص = ............................................
( 6 ) تمارين عامة
س1: ضع علامة ( صح ) أو علامة ( خطأ ) أمام كل من العبارات التالية :
• مجموعة حروف كلمة المملكة = مجموعة حروف كلمة الملاكمة ( صح ) 0

• التمارين الصعبة في مادة العلوم تحدد مجموعة ( خطأ ) 0

• الموانئ الواسعة في دول الخليج العربي تحدد مجموعة ( خطأ ) 0

• مجموعة أركان الحج تحدد مجموعة ( صح ) 0

• 5 ∈ مجموعة مضاعفات العدد 10 ( خطأ ) 0

• 7 ∈ مجموعة الأعداد الفردية الأكبر من 4 والأصغر من 14 ( صح ) 0

• { 2، 5 } ⊂ { 2 ، 3 ، 4 ، 5 } ( صح ) 0

• 6 ⊂ { 6 ، 7 ، 8 } ( خطأ ) 0

• { } مجموعة جزئية من أي مجموعة ( صح ) 0

• مجموعة الأعداد الزوجية مجموعة منتهية ( خطأ ) 0

• مجموعة دول الخليج العربي في قارة أفريقيا مجموعة غير خالية ( صح ) 0

س2: من الشكل المقابل أكتب المجموعات التالية بذكر جميع عناصرها :
س = { 2 ، 5 ، 3 ، 6 ، 4 }
ص = { 3 ، 8 }
ع = { 5 ، 3 ، 6 ، 9 ، 8 ، 7 }
س ∩ ص = { 3 } س ∩ ع = { 5 ، 3 ، 6 }
ص ∩ ع = { 3 ، 8 } س ∪ ص = { 2 ، 4 ، 5 ، 3 ، 6 ، 8 }
س ∪ ع = { 5 ، 3 ، 6 } ص ∪ ع = { 5 ، 3 ، 6 ، 9 ، 8 ، 7 }
س ∩ ص ∩ ع = { 3 } س ∪ ص ∪ ع = { 2 ، 5 ، 3 ، 6 ، 4 ، 9 ، 8 ، 7 }

س3: أملأ كلا من الفراغات التالية بأحد الرموز ( ∈ ، ∉ ، ⊂ ، ⊄ ) :
( 1 ) الكويت ∈ دول مجلس التعاون الخليجي 0
( 2 ) { } ⊂ مجموعة طلاب فصلك 0
( 3 ) { 4 } ⊄ { 3 ، 5 ، 7 } 0
( 4 ) خالد بن الوليد ∈ مجموعة الصحابة 0
( 5 ) س ⊂ س 0
( 6 ) شعبان ⊄ مجموعة الأشهر الحرم 0
( 7 ) 14 ∈ مجموعة الأيام البيض 0

( 7 ) مجموعة الأعداد الكلية وترتيبها
نرمز للأعداد الطبيعية بالرمز ط وهي : ط = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ................................... }
عند إضافة { 0 } إلى ط نحصل على الأعداد الكلية والتي نرمز لها بالرمز ك 0
أي أن ك = { 0 } ∪ ط وهذا يعني أن ك = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ............................ }
ومن ذلك نستنتج أن ط ⊂ ك
ليكن س رمزا لعدد كلي :
فإن س < 5 تقرأ س أصغر من 5 وتعني الأعداد الكلية الأصغر من 5 فقط 0 أي أن س ∈ { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 }
س > 5 تقرأ س أكبر من 5 وتعني الأعداد الكلية الأكبر من 5 فقط 0 أي أن س ∈ { 6 ، 7 ، 8 ، ....................}
س ≤5 تقرأ س أصغر من أو يساوي 5 وتعني الأعداد الكلية الأصغر من 5 بما فيها ال 5 أي أن س ∈ { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5}
س ≥5 تقرأ س أكبر من أو يساوي 5 وتعني الأعداد الكلية الأكبر من 5 بما فيها ال 5 0 أي أن س ∈ { 5 ، 6 ، 7 ، ........}
3 < س < 7 تقرأ س أكبر من 3 وأصغر من 7 وتعني الأعداد الكلية الواقعة بين 3 ، 7 فقط 0 أي أن س ∈ { 4 ، 5 ، 6 }
3 ≤ س ≤ 7 تقرأ س أكبر من أو تساوي 3 وأصغر من أو تساوي 7 وتعني الأعداد الكلية الواقعة بين 3 ، 7 بما فيها 3 ، 7 0 أي أن
س ∈ { 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 }
س1: أملأ كلا من الفراغات التالية بأحد الرموز (∈ ، ∉ ) :
6 ∈ ك 0 ∈ ك 15 ∈ ك 8765 ∈ ك
23 ∉ ك 157 ∉ ك 38 5 ∉ ك 2.34 ∉ ك





س2: قارن بين كل عددين فيما يلي :
2375 > 2374 44444 < 444444
68493 > 68453 5800167 = 5800167

س3: رتب الأعداد التالية تنازليا :
243 ، 234 ، 2432 ، 432
2432 ، 432 ، 243 ، 234
س4: إذا كانت س ∈ ك ، فاكتب بذكر جميع العناصر مجموعة القيم التي يأخذها المتغير س :
الجملة الرياضية مجموعة القيم التي يأخذها المتغير س
س < 6 س ∈ { 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0 }
س ≤ 8 س ∈ { 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0 }
س > 7 س ∈ { 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، ...................... }
س ≥ 9 س ∈ { 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، .................... }
8 < س < 15 س ∈ { 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 }
6 ≤ س ≤ 10 س ∈ { 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 }
6 < س ≤ 10 س ∈ { 7 ، 8 ، 9 ، 10 }
6 ≤ س < 10 س ∈ { 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 }

( 8 ) خواص جمع الأعداد الكلية
خواص عملية الجمع في ك :
( 1 ) إذا كان أ ، ب ∈ ك فإن : أ + ب = ب + أ ← عملية الجمع في ك عملية إبدالية 0
مثال : 5 + 3 = 3 + 5 ← 8 = 8
( 2 ) إذا كان أ ، ب ، جـ ∈ ك فإن : أ + ( ب + جـ ) = ( أ + ب ) + جـ ← عملية الجمع في ك عملية تجميعية 0
مثال : 2 + ( 3 + 5 ) = ( 2 + 3 ) + 5 ← 2 + 8 = 5 + 5 ← 10 = 10
( 3 ) إذا كان أ ∈ ك فإن : أ + 0 = 0 + أ = أ ← الصفر هو العنصر المحايد في ك بالنسبة لعملية الجمع 0
مثال : 7 + 0 = 0 + 7 = 7
( 4 ) إذا كان أ ، ب ، جـ ∈ ك وكان ب + جـ = أ فإن : أ - ب = جـ ، أ – جـ = ب ← ينتج من عملية الجمع عمليتي طرح
مثال : ينتج من عملية الجمع 5 + 3 = 8 عمليتي طرح هما 8 – 3 = 5 ، 8 – 5 = 3

س1: أجر خطوات التبديل والتجميع المناسبة لكي تحسب ما يلي :
4 + 35 + 6 40 + 129 + 60 80 + 714 + 20
4 + ( 35 + 6 ) 40 + ( 129 + 60 ) 80 + ( 714 + 20 )
4 + ( 6 + 35 ) 40 + ( 60 + 129 ) 80 + ( 20 + 714 )
( 4 + 6 ) + 35 ( 40 + 60 ) + 129 ( 80 + 20 ) + 714
10 + 35 = 45 100 + 129 = 229 100 + 714 = 814

س2: إذا كانت س ، ص ، ع أعدادا كلية ، فاشرح خطوات التبديل والتجميع في كل مما يلي :
( س + ص ) + ع = س + ( ص + ع ) تجميعية لأننا جمعنا ص مع ع
= ( ص + ع ) + س أبدالية لأننا بدلنا س مع ( ص + ع )
= ( ع + ص ) + س أبدالية لأننا بدلنا ص مع ع
= ع + ( ص + س ) تجميعية لأننا جمعنا ص مع س
= ع + ( س + ص ) أبدالية لأننا بدلنا س مع ص
س3: احسب ما يلي :
6 + [ 10 – ( 3 + 4 ) ]
6 + [ 10 – 7 ]
6 + 3 = 9

[ ( 18 – 12 ) + ( 7 + 2 ) ] – 11
[ 6 + 9 ] – 11
15 – 11 = 4 35 – { 4 + [ 13 – ( 3 + 7 ) ] }
35 – { 4 + [ 13 – 10 ] }
35 – { 4 + 3 }
35 – 7 = 28

س4 : ما هي عمليات الطرح التي تنتج من عمليات الجمع التالية :
7 + 9 = 16 10 + 15 = 25 س + 4 = 11 أ + ب = د
16 - 7 = 9 25 - 10 = 15 11 - س = 4 د - أ = ب
16 - 9 = 7 25 - 15 = 10 11 - 4 = س د - ب = أ

( 9 ) خواص ضرب الأعداد الكلية
خواص عملية الجمع في ك :
( 1 ) إذا كان أ ، ب ∈ ك فإن : أ × ب = ب × أ ← عملية الضرب في ك عملية إبدالية 0
مثال : 5 × 3 = 3 × 5 ← 15 = 15
( 2 ) إذا كان أ ، ب ، جـ ∈ ك فإن : أ × ( ب × جـ ) = ( أ × ب ) × جـ ← عملية الضرب في ك عملية تجميعية 0
مثال : 2 × ( 3 × 5 ) = ( 2 × 3 ) × 5 ← 2 × 15 = 6 × 5 ← 30 = 30
( 3 ) إذا كان أ ∈ ك فإن : أ + 1 = 1 + أ = أ ← الواحد هو العنصر المحايد في ك بالنسبة لعملية الضرب 0
مثال : 7 × 1 = 1 × 7 = 7
( 4 ) إذا كان أ ، ب ، جـ ∈ ك فإن : أ × ( ب + جـ ) = ( أ × ب ) + ( أ × جـ ) ← عملية الضرب في ك توزيعية على الجمع 0
مثال : 2 × ( 3 + 5 ) = ( 2 × 3 ) + ( 2 × 5 ) ← 2 × 8 = 6 + 10 ← 16 = 16




س1: أكمل الجدول التالي :
العملية ( صح – خطأ ) تصحيح الخطأ
416 × 200 ≠200 × 416 خطأ =
235 × 0 = 235 خطأ +
378 + 1 = 378 خطأ ×
8 × ( 6 × 7 ) = ( 8 + 6 ) × 7 خطأ 8 × ( 6 × 7 ) = ( 8 × 6 ) × 7
7 × ( 5 + 4 ) = ( 7 + 5 ) × ( 7 + 4 ) خطأ 7 × ( 5 + 4 ) = ( 7 × 5 ) + ( 7 × 4 )

س2: بالاعتماد على خصائص الضرب احسب ما يلي :
2 × 35 × 50
( 2 × 50 ) × 35
100 × 35 = 3500 9 × 2 × 6 × 5
( 9 × 6 ) × ( 2 × 5 )
63 × 10 = 630 67 × 80 + 67 × 20
67 × ( 80 + 20 )
67 × 100 = 6700 40 × 102
40 × ( 100 + 2 )
( 40 × 100 ) + ( 40 × 2 )
4000 + 80 = 4080

س3: احسب كلا مما يلي :
6 + [ 15 – ( 3 × 4 ) ]
6 + [ 15 – 12 ]
6 + 3 = 9
[ ( 3 × 7 ) + ( 7 - 2 ) ] × 10
[ 21 + 5 ] × 10
26 × 10 = 260 35 – { 4 × [ 13 – ( 3 + 7 ) ] }
35 – { 4 × [ 13 – 10 ] }
35 – { 4 × 3 }
35 – 12 = 23

س4: احسب كلا مما يلي بطريقتين :
5 × ( 14 + 6 ) 4 × ( 30 + 70 )
الطريقة الأولى الطريقة الثانية الطريقة الأولى الطريقة الثانية
5 × 20 = 100
( 5 × 14 ) + ( 5 × 6 )
70 + 30 = 100 4 × 100 = 400 ( 4 × 30 ) + ( 4 × 70 )
120 + 280 = 400

( 10 ) قسمة الأعداد الكلية
عملية القسمة عملية عكسية لعملية الضرب 0
ينتج من عملية الضرب عمليتي قسمة
مثال: ينتج من عملية الضرب 5 × 6 = 30 عمليتي قسمة هما 30 ÷ 5 = 6 ، 30 ÷ 6 = 5
عملية القسمة الإقليدية هي :
المقسوم = خارج القسمة × المقسوم عليه + الباقي ( بشرط أن الباقي أصغر من المقسوم عليه )
م = خ × ع + ب ( بشرط ب < ع )

مثال: 17 = 3 × 5 + 2 قسمة اقليدية على 3 لأن 2 < 5
س1: ما هي عمليات القسمة التي تنتج من عمليات الضرب التالية :
7 × 9 = 63 10 × 15 = 150 س × 4 = 12 أ × ب = د
63 ÷ 7 = 9 150 ÷ 10 = 15 12 ÷ س = 4 د ÷ أ = ب
63 ÷ 9 = 7 150 ÷ 15 = 10 12 ÷ 4 = س د ÷ ب = أ

س2: أي من الجمل الرياضية التالية يمكن اعتبارها قسمة اقليدية ؟ مع ذكر السبب :
الجملة الرياضية قسمة اقليدية – قسمة غير اقليدية السبب
33 = 5 × 6 + 3 قسمة اقليدية لأن 3 < 6
42 = 6 × 7 + 0 قسمة اقليدية لأن 0 < 7
18 = 3 × 4 + 6 قسمة غير اقليدية لأن 6 > 4
29 = 3 × 9 + 2 قسمة اقليدية لأن 2 < 9
54 = 6 × 8 + 8 قسمة غير اقليدية لأن 8 = 8

س3: ما العدد الذي إذا قسم بدون باق على 12 كان خارج القسمة 9 0
م = خ × ع + ب
م = 9 × 12 + 0
م = 108
إذن العدد هو 108 س4: ما العدد الذي إذا قسم على 22 كان خارج القسمة 10 والباقي 8 0
م = خ × ع + ب
م = 10 × 22 + 8
م = 220 + 8 = 228
إذن العدد هو 228

س5: ما هي قيم س التي تجعل كلا من المسا واتين التاليتين قسمة اقليدية في ك :
م = 7 × س + 4
يجب أن يكون الباقي 4 أصغر من المقسوم عليه س
أي أن س > 4
وبالتالي فإن قيم س هي 5 ، 6 ، 7 ، ....................
م = 2 × س + 6
يجب أن يكون الباقي 6 أصغر من المقسوم عليه س
أي أن س > 6
وبالتالي فإن قيم س هي 7 ، 8 ، 9 ، ....................






( 11 ) قوى عدد كلي
العدد س2 يقرأ [ س أس 2 ] أو [ القوة الثانية للعدد س ] أو [ مربع العدد س ] 0
العدد س3 يقرأ [ س أس 3 ] أو [ القوة الثالثة للعدد س ] أو [ مكعب العدد س ] 0
العدد سم يقرأ [ س أس م ] أو [ القوة الميمية للعدد س ] 0
أي عدد أس صفر فإنه = 1 بشرط أن العدد ≠ 0
عملية جمع القوى لا تختصر إلا إذا كان للأعداد الأساس نفسه والأس نفسه 0
مثال: اختصر 4 × 56 + 7 × 56
الحل: ( 4 + 7 ) × 56 = 11 × 56
لكتابة أي عدد كلي كمجموع لقوى العشرة تتبع حل المثال التالي :
مثال: اكتب العدد 41583 كمجموع قوى للعدد 10 0
الحل: 41583 = 3 × 010 + 8 × 110 + 5 × 210 + 1 × 310 + 4 × 410

س1: اقرأ الأعداد التالية بعدة قراءات:
العدد القراءة الأولى القراءة الثانية القراءة الثالثة
26 6 أس 2 القوة الثانية للعدد 6 مربع العدد 6
37 7 أس 3 القوة الثالثة للعدد 7 مكعب العدد 6
58 8 أس 5 القوة الخامسة للعدد 8
4س 4 أس س القوة السينية للعدد 4

س2: حول العمليات التالية إلى ضرب مكرر أو إلى جمع مكرر:
4 × 7 = 7 + 7 + 7 + 7 3 × س = س + س + س 43 = 3 × 3 × 3 × 3
47 = 7 × 7 ، 7 ، 7 س3= س × س × س 34 = 4 × 4 × 4 × 4

س3: إذا كانت س= 2 ، ص = 3 فاحسب ما يأتي:
5 × س = 5 × 2 = 10 س4 = 42 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 ص2 = 23 = 3 × 3 = 9
س × ص = 2 × 3 = 6 سص = 32 = 2 × 2 × 2 = 8 صس = 23 = 3 × 3 × = 9

س4: اختصر ما يلي :
6 × 45 + 3 × 45
= ( 6 + 3 ) × 45
= 9 × 45 7 × 68 + 11 × 68
= ( 7 + 11 ) × 68
= 18 × 68 3 × 97 + 97
= ( 3 + 1 ) × 97
= 4 × 97 53+ 53
= ( 1 + 1 ) × 53
= 2 × 53

س5 اكتب الأعداد التالية كمجموع قوى للعدد 10 :
64923 = 3 × 010 + 2 × 110 + 9 × 210 + 4 × 310 + 6 × 510 0
57306 = 6 × 010 + 0 × 110 + 3 × 210 + 7 × 310 + 5 × 510 0

( 12 ) العمليات على القوى
إذا كان أ ، ب ، س ∈ ك فإن : سأ × سب = سأ + ب ← ( في الضرب إذا كان الأساس = الأساس نجمع الأسس )
مثال : 45 × 75 = 5 4 + 7 = 125
إذا كان أ ، ب ، س ∈ ك ، أ ≥ ب ، س ≠ 0 فإن : سأ ÷ سب = سأ – ب ← ( في القسمة إذا كان الأساس = الأساس نطرح الأسس )
مثال : 67 ÷ 47 = 7 6 – 4 = 27
إذا كان أ ، ب ، س ∈ ك فإن : [ سأ ]ب = سأ × ب ← ( في الرفع إلى قوتين نضرب الأسس )
مثال = [ 46 ]5 = 6 4 × 5 = 206
إذا كان أ ، س ، ص ∈ ك فإن : ( س × ص )أ = سأ × صأ ← ( إذا كان حاصل ضرب عددين مرفوع إلى قوة نوزع القوة على العددين)
مثال: ( 3 × 5 )7 = 73 × 75
س1: حول الأعداد التالية إلى قوى :
4 = 2 × 2 = 22 9 = 3 × 3 = 23 27 = 3 × 3 × 3 = 33
32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2=52 81 = 3 × 3 × 3 × 3 =43 625 = 5 × 5 × 5 × 5 = 45
س2: اكتب كلا مما يلي على صورة قوة واحدة لعدد واحد :
46 × 56 = 6 4 + 5 = 96 83 × 63 = 3 8 + 6 = 143
119 ÷ 79 = 9 11 – 7 = 49 84 ÷ 54 = 4 8 – 5 = 34
45 × 48 = ( 5 × 8 )4 = 440 86 ×83 = ( 6 × 3 )8 = 818
( 43 )5 = 3 4 × 5 = 203 ( 62 )4 = 2 6 × 4 = 242
( 47 )5 × 77 = 7 4 × 5 × 77 = 207 × 77 = 7 20 + 7 = 277
( 85 )6 ÷ ( 75 )5 = 5 8 × 6 ÷ 5 7 × 5 = 485 ÷ 355 = 5 48 – 35 = 135
( 25 )4 × 65 = 5 2 × 4 × 65 = 85 × 65 = 5 8 + 6 = 145
( 16 )5 ÷ ( 8 )4 = ( 42 )5 ÷ ( 32 )4 = 2 4 × 5 ÷ 2 3 × 4 = 202 ÷ 122 = 2 20 – 12 = 82
س3: احسب قيمة س فيما يلي :
( 53 )س = 203
3 س × 5 = 203
إذا كان الأساس = الأساس
فإن الأس = الأس
س × 5 = 20
س = 20 ÷ 5 = 4 6س = 76 × 46
6س = 6 7 × 4
6س = 286
إذا كان الأساس = الأساس
فإن الأس = الأس
س = 28 2س ÷ 42 = 8
2 س – 4 = 32
إذا كان الأساس = الأساس
فإن الأس = الأس
س – 4 = 3
س = 3 + 4 = 7 43 × 45 = 15س
( 3 × 5 )4 = 15س
415 = 15س
إذا كان الأساس = الأساس
فإن الأس = الأس
س = 4

س4: احسب ما يلي :
53 × 43 ÷ 63
= 3 5 + 4 ÷ 63
= 3 9 – 6
= 33 =27
42 × 72 ÷ 112
= 2 4 + 7 ÷ 112
= 112 – 11
= 02 = 1 54 × 68 ÷ ( 16 )7
= ( 22 )5 × ( 32 )6 ÷ ( 42 )7
= 2 2 × 5 × 2 3 × 6 ÷ 2 4 × 7
= 102 × 182 ÷ 282 = 2 10 + 18 ÷ 282
= 2 28 – 28 = 02 = 1
( 13 ) تمارين عامة
س1: اختر الإجابة الصحيحة في كل مما يلي :
إذا كانت س < 4 ، س ∈ ك فإن القيم التي يأخذها المتغير س هي :
{ 1 ، 2 ، 3 } { 0 ، 1 ، 2 ، 3 } { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 }
إذا كانت3 ≤ س < 7 ، س ∈ ك فإن القيم التي يأخذها المتغير س هي :
{ 3 ، 4 ، 5 ، 6 } { 4 ، 5 ، 6 ، 7 } { 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 }
إذا كانت س ، ص ، ع ∈ ك فإن العملية س × ( ص × ع ) = ( س × ص ) × ع تسمى :
عملية إبدالية عملية تجميعية عملية توزيع الضرب على الجمع
إذا كانت س ، ص ∈ ك فإن العملية س + ص = ص + س تسمى :
عملية إبدالية عملية تجميعية عملية توزيع الضرب على الجمع
إذا كانت س ، ص ، ع ∈ ك فإن العملية س × ( ص + ع ) = ( س × ص ) + ( س × ع تسمى :
عملية إبدالية عملية تجميعية عملية توزيع الضرب على الجمع
تكون العبارة م = خ × ع + ب قسمة اقليدية إذا كان :
ب < ع ب > ع ب = ع
العدد الذي إذا قسم على 10 كان خارج القسمة 24 والباقي 8 هو :
240 232 248
إذا كانت س = 2 ، ص = 3 فإن قيمة س2 × ص3 تساوي :
36 108 24
عند اختصار العبارة 5 س4 + 3 س4 فأن الناتج يساوي :
8 س4 8 س16 8 س8
عند حساب 49 ÷ { 25 – [ ( 3 × 2 ) + ( 4 + 8 ) ] } فإن الناتج يساوي :
7 8 9
عند حساب 23 × 3 ÷ 27 فإن الناتج يساوي :
صفر 1 2
إذا كانت س4 = 16 فإن قيمة س تساوي :
1 2 4

س2: أكمل الفراغات التالية بوضع أحد الرموز ( > ، < ، = ) :
23 > 32 9402 > 9042 25 × 45 < 85
( 17 )0 = 1 20 – 4 = 42 52 × 53 = 56

س3: أكتب العدد التالي كمجموع قوى العدد 10 :
258106 = 6 × 010 + 0 × 110 + 1 × 210 + 8 × 310 + 5 × 410 + 2 × 510
( 14 ) قواسم عدد كلي
قواسم عدد هي : الأعداد التي يقبل القسمة عليها هذا العدد 0
نرمز لقواسم عدد س بالرمز ق س
مثال: قواسم العدد 6 هي: ق6 = { 1 ، 2 ، 3 ، 6 } لأن العدد 6 يقبل القسمة عليها جميعا بدون باق 0
نقول أن العدد ب قاسم للعدد س إذا وجدنا عددا آخرا د بحيث : ب × د = س ، ب ≠ 0
مثال: العدد 2 قاسم للعدد 6 لأننا وجدنا عددا آخرا وهو 3 بحيث أن 2 × 3 = 6
إذا كان س قاسما مشتركا لعددين فإنه قاسما لمجموعهما وللفرق بينهما 0
مثال: 2 قاسم مشترك للعددين 6 ، 8 وبالتالي فهو قاسم لمجموعهما 14 وللفرق بينهما وهو 2
للبحث عن قواسم عدد وليكن 8 مثلا نتبع الآتي :
نبدأ بالعدد 1 ونسأل هل هناك عدد إذا ضربناه في 1 يكون الناتج 8 فنجد أن 1 × 8 = 8 وهذا يعني أن 1 قاسم للعدد 8
ننتقل للعدد 2 ونسأل هل هناك عدد إذا ضربناه في 2 يكون الناتج 8 فنجد أن 2 × 4 = 8 وهذا يعني أن 2 قاسم للعدد 8
ننتقل للعدد 3 ونسأل هل هناك عدد إذا ضربناه في 3 يكون الناتج 8 فنجد أنه لا يوجد عدد إذا ضربناه في 3 يكون الناتج 8 وهذا يعني أن
3 ليس قاسما للعدد 8
ننتقل للعدد 4 ونسأل هل هناك عدد إذا ضربناه في 4 يكون الناتج 8 فنجد أن 4 × 2 = 8 وهذا يعني أن 4 قاسم للعدد 8
لاحظ كيف تكرر عندنا 2 × 4 ، 4 × 2 وهنا نتوقف عن البحث ونكتب قواسم العدد 8 وهي 1 ، 2 ، 4 ، 8
س1: استخدم الأعداد ( 55 ، 16 ، 27 ، 77 ) لتملأ الفراغات التالية :
2 قاسم للعدد 16 لأننا وجدنا عددا آخرا وهو 8 بحيث أن : 2 × 8 = 16
3 قاسم للعدد 27 لأننا وجدنا عددا آخرا وهو 9 بحيث أن : 3 × 9 = 27
5 قاسم للعدد 55 لأننا وجدنا عددا آخرا وهو 11 بحيث أن : 5 × 11 = 55
7 قاسم للعدد 77 لأننا وجدنا عددا آخرا وهو 11 بحيث أن : 7 × 11 = 77

س2: حدد المجموعات التالية:
ق12 = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12 }
ق18 = { 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 }
ق40 = { 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 8 ، 10 ، 20 ، 40 }
ق12∩ ق18 = { 1 ، 2 ، 3 ، 6 }
ق12∩ ق40 = { 1 ، 2 ، 4 }
ق18∩ ق40 = { 1 ، 2 }
القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 ، 18 = 6 القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 ، 40 = 4
القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 40 = 2



س3: ما هي القيم التي يأخذها المتغير س ∈ ك بحيث تكون العبارات التالية صحيحة :
2 قاسم لـ ( س + 18 ) بشرط أن س < 10 س ∈ { 2 ، 4 ، 6 ، 8 }
3 قاسم لـ ( س + 12 ) بشرط أن س < 10 س ∈ { 3 ، 6 ، 9 }
4 قاسم لـ ( س - 8 ) بشرط أن 10 < س < 22 س ∈ { 12 ، 16 ، 20 }
5 قاسم لـ ( س - 10 ) بشرط أن 13 < س < 33 س ∈ { 15 ، 20 ، 25 ، 30 }
( 15 ) مضاعفات عدد كلي
نقول أن العدد س مضاعف للعدد ب إذا وجدنا عددا آخرا د بحيث : ب × د = س ، س ≠ 0
نرمز لمضاعف عدد س بالرمز م س
مثال: العدد 10 مضاعف للعدد 5 لأننا وجدنا عددا آخرا وهو 2 بحيث أن 2 × 5 = 10
مجموع مضاعفي عدد والفرق بينهما هما مضاعفان لهذا العدد 0
مثال: 6 ، 10 مضاعفان للعدد 2 وبالتالي فإن مجموعهما وهو 16 مضاعف للعدد 2 والفرق بينهما وهو 4 مضاعف للعدد 2
للبحث عن مضاعفات عدد نتبع الآتي :
مثال : اكتب المضاعفات الأربعة الأولى للعدد 5
الحل: نضرب العدد 5 في 1 ثم في 2 ثم في 3 ثم في 4 فنحصل على م 5 = { 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، .............................. }
س1: أكمل الجدول التالي :
العدد المضاعف الأول المضاعف الثاني المضاعف الثالث المضاعف الرابع المضاعف الخامس المضاعف السادس
7 1 × 7 = 7 2 × 7 = 7 3 × 7 = 21 4 × 7 = 28 5 × 7 = 35 6 × 7 = 42
9 1 × 9 = 9 2 × 9 = 7 3 × 9 = 27 4 × 9 = 36 5 × 9= 45 6 × 9= 54
10 1 × 10 = 10 2× 10 = 20 3 × 10 = 30 4 × 10 = 40 5 × 10 = 50 6 × 10 = 60

س2: اكتب المضاعفات العشرة الأولى لكل من الأعداد 4 ، 6 ، 8 :
م 4 = { 4 ، 8 ، 12 ، 16 ، 20 ، 24 ، 28 ، 32 ، 36 ، 40 ، 00000000000000000 }
م 6 = { 6 ، 12 ، 18 ، 24 ، 30 ، 36 ، 42 ، 48 ، 54 ، 60 ، 00000000000000000 }
م 8 = { 8 ، 16 ، 24 ، 32 ، 40 ، 48 ، 56 ، 64 ، 72 ، 80 ، 00000000000000000 }
م 4∩ م 6 = { 12 ، 24 ، 36 000000000000000000 }
م 4∩ م 8 = { 8 ، 16 ، 24 ، 32 ، 40 ، 0000000000000 }
م 6∩ م 8 = { 24 ، 48 ، 0000000000000000000000 }
المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 ، 6 = 12 المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 ، 8 = 8
المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 ، 8 = 24

س3: باستخدام خاصية توزيع الضرب على الجمع والطرح وضح ما يلي :
6 + 12 مضاعف لـ 3
( 3 × 2 ) + ( 3 × 4 )
3 × ( 2 + 4 )
3 × 8 15 + 20 مضاعف لـ 5
( 5 × 3 ) + ( 5 × 4 )
5 × ( 3 + 4 )
5 × 7 20 - 12 مضاعف لـ 4
( 4 × 5 ) - ( 4 × 3 )
4 × ( 5 - 3 )
4 × 2 30 - 18 مضاعف لـ 6
( 6 × 5 ) - ( 6 × 3 )
6 × ( 5 - 3 )
6 × 2

س4: اختر ما يناسب من بين القوسين لتملأ الفراغات التالية :
( 1 ) العدد 56 هو المضاعف الثامن للعدد 7 ( 14 ، 56 ، 70 )
( 2 ) العدد 6 هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 3 ، 6 ( 3 ، 6 ، 12 )
( 3 ) المقدار ( 8 + 16 ) هو مضاعف للعدد 4 [ ( 8 + 16 ) ، ( 12 ، 15 ) ، ( 14 ، 24 ) ]

( 16 ) الأعداد الأولية
العدد الأولي: هو العدد الذي له قاسمان فقط هما الواحد والعدد نفسه 0
مثل 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 57 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، ........................................
أصغر قاسم غير الواحد لعدد كلي هو عدد أولي
مثال: عين أصغر قاسم غير الواحد للأعداد 12، 15 ، 35
الحل : ق12 = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12 } ← أصغر قاسم غير الواحد هو 2 وهو عدد أولي 0
ق15 = { 1 ، 3 ، 5 ، 15} ← أصغر قاسم غير الواحد هو 3 وهو عدد أولي 0
ق35 = { 1 ، 5 ، 7 ، 35} ← أصغر قاسم غير الواحد هو 5 وهو عدد أولي 0
لتحليل عدد إلى عوامله الأولية نقسمه أولا على 2 ثم على 3 ثم على 5 ثم على7 وهكذا حتى تنتهي القسمة بالعدد 1
مثال : حلل العدد 60 إلى عوامله الأولية
الحل: 60 = 22 × 3 × 5
طريقة أخرى : 60 = 6 × 10 = 2 × 3 × 2 × 5 = 22 × 3 × 5

س1: ضع علامة ( صح ) أمام العبارة الصحيحة وعلامة ( خطأ ) أمام العبارة الخاطئة 0
1- العدد 35 عدد أولي ( خطأ ) 0 2- العدد 36976 يقبل القسمة على 2 ( صح ) 0
3- العدد 47 عدد أولي ( صح ) 0 4- العدد 462 يقبل القسمة على 3 ( صح ) 0
5- العدد 25918 عدد أولي ( خطأ ) 0 6- العدد 36976 يقبل القسمة على 5 ( خطأ ) 0
7- العدد 1 عدد أولي ( خطأ ) 0 8- مجموع عددين أوليين أكبر من 2 هو عدد أولي ( خطأ ) 0
9- أصغر قواسم العدد 2124 الأكبر من 1 هو 6 ( خطأ ) 0 10- أصغر قواسم العدد 486 الأكبر من 1 هو 9 ( خطأ ) 0
11- العدد 89 عدد أولي ( صح ) 0 12-كل عددين متتاليين غير 2 ، 3 لا يمكن أن يكونا أوليين ( صح ) 0

س2: أكتب التوائم الأولية الأصغر من 40 : ( التوائم الأولية عبارة عن عددين أوليين الفرق بينهما 2 مثل 57 ، 59)
3 ، 5 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 29 ، 31





س3: حلل الأعداد التالية إلى عواملها الأولية :
84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 22 × 3 × 7

120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 32 × 3 × 5

180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 22 × 33 × 5

840 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 7 = 32 × 3 × 5 × 7

1650 = 2 × 3 × 5 × 5 × 11 = 2 × 3 × 25 × 11

( 17 ) القاسم المشترك الأكبر
نحسب القاسم المشترك الأكبر لعددين بثلاث طرق ونرمز له بالرمز ق 0 م 0 أ
الطريقة الأولى : طريقة مجموعة القواسم
مثال : أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 24 بطريقة مجموعة القواسم :
الحل أولا : ق18 = { 1، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 } 0 ق24 = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24 }
ثانيا : ق18 ∩ ق24 = { 1 ، 2 ، 3 ، 6 } وتسمى القواسم المشتركة للعددين 0
ثالثا : نختار أكبر القواسم المشتركة للعددين ونحصل على القاسم المشترك الأكبر للعددين وهو العدد 6 ← ق 0 م 0 أ = 6
الطريقة الثانية : طريقة التحليل إلى العوامل الأولية
مثال: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 24 بطريقة التحليل إلى عواملهما الأولية :
الحل : أولا : نحلل العددين إلى عواملهما الأولية : 18 = 2 × 23 24 = 32 × 3
ثانيا : نختار العوامل المشتركة والتي لها الأس الأصغر وهي 2 ، 3
ثالثا : نضرب العوامل المختارة فنحصل على ق 0 م 0 أ = 2 × 3 = 6
الطريقة الثالثة : طريقة القسمة المطولة
مثال : أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 24 بطريقة القسمة المطولة : (يشترط أن لا يكون أحد العددين قاسم للآخر )
الحل: أولا : نقسم العدد الأكبر على الأصغر
24 ÷ 18 = 1 والباقي 6
ثانيا : نقسم المقسوم عليه على الباقي
18 ÷ 6 = 3 والباقي صفر
ثالثا : نلاحظ أن الباقي أصبح صفرا وهنا يكون ق 0 م 0 أ = المقسوم عليه = 6
ملاحظة : إذا لم يكن الباقي صفرا نستمر في قسمة المقسوم عليه على الباقي حتى يكون الباقي صفرا ويكون ق 0 م 0 أ = المقسوم عليه
العددان اللذان قاسمهما المشترك الأكبر هو العدد 1 يسميان عددين أوليين فيما بينهما 0


مثال : هل العددان 15 ، 20 أوليان فيما بينهما ؟
الحل : نحلل العددين إلى عواملهما الأولية : 20 = 22 × 5 21 = 3 × 7
نلاحظ أنه لا يوجد عامل مشترك بين العددين فيكون القاسم المشترك الأكبر لهما هو الواحد وبالتالي فهما أوليان فيما بينهما 0
لحساب القاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد نستخدم إحدى الطريقتين ( مجموعة القواسم أو التحليل إلى العوامل الأولية )
مثال : أوجد القاسم المشترك الأكبر للأعداد 20 ، 30 ، 50 بطريقتين 0
الحل : طريقة مجموعة القواسم : طريقة التحليل إلى العوامل الأولية :
ق20 = { 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 20 } 20 = 22 × 5
ق 30 = { 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 10 ، 15 ، 30 } 30 = 2 × 3 × 5
ق50 = { 1 ، 2 ، 5 ، 10 ، 25 ، 50 } 50 = 2 × 25
ق20 ∩ ق30 ∩ ق50 = { 1 ، 2 ، 5 ، 10 } ق 0 م 0 أ = 2 × 5 = 10
ق 0 م 0 أ = 10
نستخدم القاسم المشترك الأكبر لتبسيط الكسور ( وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر )
مثال : بسط الكسر 1230
الحل : 12 = 22 × 3 30 = 2 × 3 × 5 ق 0 م 0 أ = 2 × 3 = 6
1230 = 12÷630÷6 = 215

س1: أوجد ق 0 م 0 أ لكل عددين فيما يلي بثلاث طرق : ( 18 )
العددان طريقة مجموعة القواسم طريقة التحليل إلى العوامل الأولية طريقة القسمة المطولة
12، 20 ق12 = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12 }
ق20 = { 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 20 }
ق12 ∩ ق20 = { 1 ، 2 ، 4 }
ق 0 م 0 أ = 4 12 = 22 × 3
20 = 22 × 5
ق 0 م 0 أ = 22 = 4 20 ÷ 12 = 1 والباقي 8
12 ÷ 8 = 1 والباقي 4
8 ÷ 4 = 2 والباقي 0
ق 0 م 0 أ = 4
28 ، 70 ق28 = { 1 ، 2 ، 4 ، 7 ، 14 ، 28 }
ق70 = { 1 ، 2 ، 5 ، 7 ، 10 ، 14 ،35 ، 70 }
ق28 ∩ ق70 = { 1 ، 2 ، 7 ، 14 }
ق 0 م 0 أ = 14 28 = 22 × 7
70 = 2 × 5 × 7
ق 0 م 0 أ = 2 × 7 = 14 70 ÷ 28 = 2 والباقي 14
28 ÷ 14 = 2 والباقي 0
ق 0 م 0 أ = 14

س2 : في الجدول التالي بين ما إذا كان العددان أوليين فيما بينهما أم لا ؟
15 ، 22
15 = 3 × 5
22 = 2 × 11
ق 0 م 0 أ = 1
العددان أوليان فيما بينهما 14 ، 21
14 = 2 × 7
21 = 3 × 7
ق 0 م 0 أ = 7
العددان ليسا أوليان فيما بينهما 20 ، 35
20 = 22 × 5
35 = 5 × 7
ق 0 م 0 أ = 5
العددان ليسا أوليان فيما بينهما 18 ، 77
18 = 2 × 23
77 = 7 × 11
ق 0 م 0 أ = 1
العددان أوليان فيما بينهما

س3 : أوجد ق 0 م 0 أ للأعداد 200 ، 240 ، 700
200 = 32 × 25 240 = 42 × 3 × 5 700 = 22 × 25 × 7
ق 0 م 0 أ = 22× 5 = 4 × 5 = 20

س4: في الجدول التالي بسط كلا من الكسور التالية باستخدام ق 0 م 0 أ
2835
28 = 22 × 7
35 = 5 × 7
ق 0 م 0 أ = 7
2835 = 28÷735÷7 = 45
3042
30 = 2 × 3 × 5
42 = 2 × 3 × 7
ق 0 م 0 أ = 2 × 3 = 6
3042 = 30÷642÷6 = 57
4554
45 = 23 × 5
54 = 2 × 33
ق 0 م 0 أ = 23 = 9
4554 = 45÷954÷9 = 56


س5: يراد فرش مسجد مستطيل الشكل طوله 150م وعرضه 40م بسجاد مربع الشكل0ما بعد أكبر نوع من السجاد يناسب فرش المسجد ؟
150 = 2 × 3 × 25 40 = 32 × 5 ق 0 م 0 أ = 2 × 5 = 10
بعد أكبر نوع من السجاد يناسب فرش المسجد = 10 م
( 19 ) المضاعف المشترك الأصغر
نحسب المضاعف المشترك الأصغر لعددين بطريقتين ونرمز له بالرمز م 0 م 0 أ
الطريقة الأولى : طريقة مجموعة المضاعفات
مثال : أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 ، 8 بطريقة مجموعة القواسم :
الحل أولا : م6 = { 6، 12 ، 18 ، 24 ، 30 ، 36 ، 42 ، 48، 54 ، 60 ‘ 66 ‘ 72 ، 78 ............... } 0
م8 = { 8 ، 16 ، 24 ، 32 ، 40 ، 48 ، 56 ، 64 ، 72 ، 80 ، 88 ، 96 ، 104 ............... } 0
ثانيا : م6 ∩ م8 = { 24 ، 48 ، 72 ، ............ } وتسمى المضاعفات المشتركة للعددين 0
ثالثا : نختار أصغر المضاعفات المشتركة للعددين ونحصل على المضاعف المشترك الأصغر للعددين وهو العدد 24 ← م 0 م 0 أ = 24
الطريقة الثانية : طريقة التحليل إلى العوامل الأولية
مثال: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 ، 8 بطريقة التحليل إلى عواملهما الأولية :
الحل : أولا : نحلل العددين إلى عواملهما الأولية : 6 = 2 × 3 8 = 32
ثانيا : نختار العوامل المشتركة والتي لها الأس الأكبر وهي 32 وكذلك العوامل غير المشتركة وهي 3
ثالثا : نضرب العوامل المختارة فنحصل على م 0 م 0 أ = 32× 3 = 8 × 3 = 24
لحساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد نستخدم إحدى الطريقتين ( مجموعة المضاعفات أو التحليل إلى العوامل الأولية )
مثال : أوجد المضاعف المشترك الأكبر للأعداد 12 ، 16 ، 24 بطريقتين 0
الحل : طريقة مجموعة القواسم : طريقة التحليل إلى العوامل الأولية :
م12 = { 12 ، 24 ، 36 ، 48 ، 60 ، 72 ، 84 ، 96 .......... } 12 = 22 × 3
م 16 = { 16 ، 32 ، 48 ، 64 ، 80 ، 96 ، 112 ، 128 ................ } 16 = 42
م24 = { 24 ، 48 ، 72 ، 96 ، 120 ، 144 ، 168 ................. } 24 = 32 × 3
م12 ∩ م16 ∩ م24 = { 48 ، 96 ، ...................} م 0 م 0 أ = 42× 3 = 16 × 3 = 48
م 0 م 0 أ = 48
نستخدم المضاعف المشترك الأصغر في جمع وطرح الكسور ( وذلك لتوحيد مقامات الكسور باستخدام المضاعف المشترك الأصغر )
مثال : اجمع 512 + 718
الحل : 12 = 22 × 3 18 = 2 × 23 م 0 م 0 أ = 22 × 23= 4 × 9 = 36
نقسم 36 على مقام الكسر الأول أي 36 ÷ 12 = 3 ثم نضرب 3 في بسط ومقام الكسر الأول أي 5×312×3 = 1536
نقسم 36 على مقام الكسر الثاني أي 36 ÷ 18 = 2 ثم نضرب 2 في بسط ومقام الكسر الثاني أي 7×218×2 = 1436
نجمع 1536 + 1436 = 15+1436 = 2936 ( نستخدم نفس الطريقة في طرح كسرين )
حاصل ضرب عددين يساوي حاصل ضرب قاسمهما المشترك الأكبر في مضاعفهما المشترك الأصغر
مثال : عددان قاسمهما المشترك الأكبر 10 ومضاعفهما المشترك الأصغر 200 0 ما هو العدد الأول إذا كان العدد الثاني 40 ؟
الحل : ق 0 م 0 أ × م 0 م 0 أ = العدد الأول × العدد الثاني
10 × 200 = العدد الأول × 40
العدد الأول = 10×20040 = 200040 = 50


س1: أوجد م 0 م 0 أ لكل عددين فيما يلي بطريقتين : ( 20 )
العددان طريقة مجموعة المضاعفات طريقة التحليل إلى العوامل الأولية
15، 20 م15 = { 15 ، 30 ، 45 ، 60 ، 75 ، 90 ، 105 ، 120 ، ............ }
م20 = { 20 ، 40 ، 60 ، 80 ، 100 ، 120 ، 140 ، 160 ، ........ }
م15 ∩ م20 = { 60 ، 120 ، ........................ }
م 0 م 0 أ = 60 15 = 3 × 5
20 = 22 × 5
م 0 م 0 أ = 22 × 3 × 5 = 60
40 ، 60 م40 = { 40 ، 80 ، 120 ، 160 ، 200 ، 240 ، 280 ، 320 ، .... }
م60 = { 60 ، 120 ، 180 ، 240 ، 300 ، 360 ، 420 ، 480 ، .. }
م40 ∩ م60 = { 120 ، 240 ، .................}
م 0 م 0 أ = 120 40 = 32 × 5
60 = 22 × 3 × 5
م 0 م 0 أ = 32 × 3 × 5 = 120

س2 : أوجد م 0 م 0 أ للأعداد 200 ، 240 ، 700
200 = 32 × 25 240 = 42 × 3 × 5 700 = 22 × 25 × 7
م 0 م 0 أ = 42 × 3 × 25 × 7 = 16 × 3 × 25 × 7 = 8400

س3: في الجدول التالي تمم عمليات الجمع والطرح التالية باستخدام م 0 م 0 أ
16 + 310
6 = 2 × 3
10 = 2 × 5
م 0 م 0 أ = 2 × 3 × 5 = 30
30 ÷ 6 = 5 ← 1×56×5 = 530
30 ÷ 10 = 3 ← 3×310×3 = 930
530 + 930 = 5+930 = 1430 = 215
415 + 518
15 = 3 × 5
18 = 2 × 23
م 0 م 0 أ = 2 × 23 × 5 = 90
90 ÷ 15 = 6 ← 4×615×6 = 2490
90 ÷ 18 = 5 ← 5×518×5 = 2590
2490 + 2590 = 24+2590 = 4990
914 - 320
14 = 2 × 7
20 = 22 × 5
م 0 م 0 أ = 22 × 5 × 7 = 140
140 ÷ 14 = 10 ← 9×1014×10 = 90140
140 ÷ 20 = 7 ← 3×720×7 = 21140
90140 - 21140 = 90-21140 = 69140


س4: إذا كان س ، ص عددين ، ق قاسمهما المشترك الأكبر ، م مضاعفهما المشترك الأصغر 0 فأوجد قيمة المجهول :
ق = 6 ، م = ؟ ، س = 18 ، ص = 30
ق × م = س × ص
6 × م = 18 × 30
م = 18×306 = 5406 = 90
ق = ؟ ، م = 40 ، س = 8 ، ص = 10
ق × م = س × ص
ق × 40 = 8 × 10
ق = 8×1040 = 8040 = 2
ق = 3 ، م = 48 ، س = ؟ ، ص = 24
ق × م = س × ص
3 × 48 = س × 24
س = 3×4824 = 14424 = 6

( 21 ) تمارين عامة
س1: ضع علامة ( صح ) أمام العبارة الصحيحة وعلامة ( خطأ ) أمام العبارة الخاطئة 0
1) العدد 48 هو المضاعف الخامس للعدد 6 ( خطأ ) 0 2) العدد 3 قاسم للعدد 624 ( صح ) 0
3) العدد 31 عدد أولي ( صح ) 0 4) أصغر قواسم العدد 1300 الأكبر من واحد هو 4 ( خطأ ) 0
5) العدد 8289 يقبل القسمة على 2 ، 3 ، 5 ( خطأ ) 0 6) لتبسيط الكسر نستخدم المضاعف المشترك الأصغر ( خطأ ) 0
7) لتوحيد مقامات الكسور نستخدم القاسم المشترك الأكبر ( خطأ ) 0 8) العددان 11 ، 13 أوليان فيما بينهما ( صح ) 0
9) العددان 29 ، 31 من التوائم الأولية ( صح ) 0 10) 2 قاسم لـ ( 8 + 12 ) ، ( 12 – 8 ) ( صح ) 0
11)مجموع مضاعفي عدد والفرق بينهما هما مضاعفان لهذا العدد ( صح ) 0
س2: في الجدول التالي أوجد ق 0 م 0 أ ، م 0 م أ فيما يلي :
84 ، 90
84 = 22 × 3 × 7 90 = 2 × 23 × 5
ق 0 م 0 أ = 2 × 3 = 6
م 0 م 0 أ = 22 × 23 × 5 × 7 = 1260 33 ، 63 ، 78
33 = 3 × 11 63 = 23 × 7
78 = 2 × 3 × 13
ق 0 م 0 أ = 3
م 0 م 0 أ = 2 × 23 × 7 × 11 × 13 = 18018

س3: إذا كان س ، ص عددين ، ق قاسمهما المشترك الأكبر ، م مضاعفهما المشترك الأصغر 0 فأوجد قيمة المجهول :
ق = 7 ، م = ؟ ، س = 14 ، ص = 21
ق × م = س × ص
7 × م = 14 × 21
م = 14×217 = 2947 = 42
ق = 5 ، م = ؟ ، س = 15 ، ص = 30
ق × م = س × ص
5 × م = 15 × 30
ق = 15×305 = 4505 = 90
ق = 9 ، م = 72 ، س = 18 ، ص = ؟
ق × م = س × ص
9 × 72 = 18 × ص
س = 9×7218 = 64818 = 36

س4: ما أقصر طول شريط بحيث يمكن تقسيمه إلى عدد من القطع أطوال كل منها 3م أو 8م أو 12م ؟
3 = 3 8 = 32 12 = 22 × 3
م 0 م 0 أ = 32 × 3 = 24 ← طول أقصر شريط = 24م
س5 : اجمع ثم بسط الناتج 21100 + 2875
100 = 22 × 25 75 = 3 × 25
م 0 م 0 أ = 22 × 3 × 25 = 300
ق 0 م 0 أ = 25 = 25
300 ÷ 100 = 3 ← 21×3100×3 = 63300
300 ÷ 75 = 4 ← 28×475×4 = 112300
63300 + 112300 = 63+112300 = 175300 = 175÷25300÷25 = 712
س6 : أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 52 باستخدام القسمة المطولة :
52 ÷ 18 = 2 والباقي 16
18 ÷ 16 = 1 والباقي 2
16 ÷ 2 = 8 والباقي 0
ق 0 م 0 أ = 2

( 22 ) تعار يف
على الشكل المقابل نقطة نرمز لها بأحد الحروف الأبجدية ولتكن ب × ب
المستقيم : هو مجموعة غير منتهية من النقاط يمتد في اتجاهين
على الشكل المقابل مستقيم يمر في النقطتين س ، ص حيث نرمز له بالرمز س ص
نسمي المستقيم بأي نقطتين عليه فعلى الرسم المقابل نسمي المستقيم أ ب أو ب جـ أو أ جـ
كل نقطتين تحددان مستقيما واحدا فقط 0
المستوى : مجموعة غير منتهية من النقاط ويمتد في جميع الاتجاهات 0
نرمز للمستوى بحرف أبجدي بين قوسين مثل ( م ) أو ( ي )
لتمثيل المستوى : نمثل جزءا منه مثل صفحة الكتاب أو لوح السبورة كما في الشكل المقابل
المستوى ينطبق عليه المستقيم في جميع الأوضاع 0
نصف المستقيم : هو مجموعة غير منتهية من النقاط يمتد في اتجاه واحد إلى مالا نهاية
على الشكل المقابل نصف مستقيم بدايته النقطة س ويمر في النقطة ص إلى مالا نهاية
نرمز لنصف المستقيم في الشكل المقابل بالرمز [ س ص
على الشكل المقابل تسمى مجموعة النقاط الواقعة بين أ ، ب بما فيهما أ ، ب قطعة مستقيمة
نرمز للقطعة المستقيمة بالرمز [ أ ب ] 0حيث أن أ ، ب هما طرفا القطعة المستقية [ أ ب ]
للقطعة المستقيمة طول لأن لها بداية ولها نهاية ونرمز له بالرمز │ أ ب │
المستقيم ليس له طول لأنه ليس له بداية وليس له نهاية
نصف المستقيم ليس له طول لأن له بداية وليس له نهاية
س1: اكتب اسم ورمز كل من الأشكال التالية :


× ب

الاسم : نقطة الاسم : مستوى الاسم : مستقيم الاسم : نصف مستقيم الاسم : قطعة مستقيمة
الرمز : ب الرمز : ( م ) الرمز : د ب الرمز: [ ك ل الرمز: [ ع ط ]


س2: ارسم كلا من الأشكال التالية :
مستقيم ب د
نصف مستقيم [ و ق
نقطة ل
قطعة مستقية [ ح ن ]


س3 : من الشكل المقابل أملأ الفراغات بأحد الرموز ( = ، ∈ ، ∉ ، ⊂ ، ⊄ ) :
ب ∈ ( م ) ب ∉ س ص

س ط = س ص [ س ط ] ⊂ س ص

[ ب د ] ⊄ س ص د ط ⊂ ( م )

[ ط ص ] ⊂ [ ط ص س ∉ [ د ط









( 23 ) الزوايا المتجاورة والزوايا المتقابلة بالرأس
على الشكل المقابل زاوية تتكون من :
1- رأس وهو ن 2- ضلعين هما [ ن س ، [ ن ص
نسمي الزاوية في الشكل المقابل س ن ص أو ص ن س أو ن

تكون الزاويتان متجاورتين إذا تحققت الشروط التالية :
1- لهما رأس مشترك وهو ن 0
2- لهما ضلع مشترك وهو [ ن ك 0
3- تقعان على جهتي الضلع المشترك [ ن ك 0
على الشكل المقابل : الزاويتان س ن ك ، ك ن ص متجاورتان لأن لهما رأس مشترك ن
و ضلع مشترك [ ن ك ، وهما على جهتي الضلع المشترك [ ن ك 0

تكون الزاويتان متقابلتين بالرأس إذا :
( كان كل ضلع من إحداهما امتدادا لضلع من الأخرى )
على الشكل المقابل : الزاويتان اللتان باللون الأحمر ب ن ي ، د ن و متقابلتان بالرأس 0
الزاويتان اللتان باللون الأخضر ب ن د ، ي ن و متقابلتان بالرأس 0


س1 : من الشكل المقابل أكمل الفراغات التالية :
1- نسمي الزاوية ذات الرقم 1 بالاسم م1 أو س م ص أو ص م س
2- نسمي الزاوية ذات الرقم 2 بالاسم م2 أو ص م ع أو ع م ص
3- نسمي الزاوية ذات الرقم 3 بالاسم م3 أو ع م ط أو ط م ع
4- الزاوية س م ص تجاور الزاوية ص م ع
5- الزاوية ع م ط تجاور الزاوية ص م ع
6- الزاوية ص م ع تجاور الزاوية س م ص ، ع م ط
7- س م ص + ص م ع = س م ع
8- ص م ع + ع م ط = ص م ط
9- س م ص + ص م ع + ع م ط = س م ط

س2 : من الشكل المقابل : ( أ ) أكمل الفراغات التالية :
الزاويتان أ م ب ، هـ م د متقابلتان بالرأس 0
الزاويتان أ م و ، جـ م د متقابلتان بالرأس 0
الزاويتان أ م جـ ، و م د متقابلتان بالرأس 0
الزاوية أ م ب تجاور الزاويتين أ م و ، ب م جـ
الزاوية جـ م د تجاور الزاويتين ب م جـ ، هـ م د
( ب ) استعمل المنقلة لكي تجد قياس كل من الزوايا التالية :
أ م و = 572 ، جـ م د = 572 ، أ م ب = 553 ، هـ م د = 553 ، ب م جـ = 555 ، و م هـ = 555
ماذا تلاحظ ؟ نلاحظ أن كل زاويتين متقابلتين بالرأس متساويتين 0
( 24 ) قياس الزوايا وأنواعها
الدرجة هي وحدة قياس الزاوية ورمزها ( 5 )
أنواع الزوايا :
زاوية حادة وقياسها أكبر من الصفر وأصغر من 590 0
زاوية قائمة وقياسها 590 0
زاوية منفرجة وقياسها أكبر من 590 وأصغر من 5180 0
زاوية مستقيمة وقياسها 5180 0

تكون الزاويتان متتامتين إذا كان مجموعهما زاوية قائمة 0
على الشكل المقابل نجد أن :
س م ص = 530 ، ص م ع = 560
س م ص + ص م ع = 530 + 560 = 590
أي أن س م ص ، ص م ع زاويتان متتامتان 0

تكون الزاويتان متكاملتين إذا كان مجموعهما زاوية مستقيمة 0
على الشكل المقابل نجد أن :
ك ن ط = 550 ، ط ن ل = 5130
ك ن ط + ط ن ل = 550 + 5130 = 5180
أي أن ك ن ط ، ط ن ل زاويتان متكاملتان 0

س1 : أوجد قياس كل من الزوايا التالية ثم حدد نوع كل منها :





س1: أكمل الجدول التالي :
الزاوية 540 570 564 50 590 5120
متممتها 550 520 526 590 50
مكملتها 5140 5110 5116 5180 590 580

س3: بدون استعمال المنقلة 0 أوجد قياس كل من الزوايا التالية :




ك م ص = 5180 – 540 = 5140 ب ن د = 590 – 550 = 540 ك م ع = 5180 – ( 530 + 590 ) = 560

( 25 ) المستقيمات المتعامدة
نقول عن مستقيمين أنهما متعامدان إذا كانت الزاوية بينهما قائمة ( 590 )
نرمز للتعامد بالرمز ┴
يستخدم مثلث الرسم في اكتشاف ورسم الزوايا القائمة والمستقيمات المتعامدة 0
أنواع مثلث الرسم
1- مثلث زواياه 590 ، 545 ، 545 ( يسمى مثلث قائم الزاوية ومتطابق الضلعين )
2- مثلث زواياه 590 ، 560 ، 530 ( يسمى مثلث ثلاثيني ستيني )
المسافة بين مستقيم ونقطة خارجة عنه:
هي طول القطعة المستقيمة العمودية من النقطة الخارجة إلى نقطة تقاطعها مع المستقيم 0
مثال : على الشكل المقابل :
المسافة بين المستقيم س ص والنقطة ب هي طول القطعة [ م ب ] 0


س1: ارسم المستقيمين المتعامدين س ص ، ع ط 0





س2 : على الشكل المقابل استخدم مثلث الرسم لكي تكتشف المستقيمات المتعامدة 0
ثم أكمل الفراغات التالية :
1- أ و ┴ و د
2- أ د ┴ د جـ
3- ب جـ ┴ د جـ

س3 : ارسم مستقيما ك ل 0 ثم عين نقطة ب تبعد عنه مسافة 3سم 0






س4 : على الشكل المقابل مستقيم س ص ونقطة د خارجة عنه 0
أوجد المسافة بين المستقيم س ص والنقطة د 0
المسافة بين س ص والنقطة د = 2 سم


( 26 ) إنشاءات هندسية
تتبع أنشطة الكتاب حتى تتعلم طرق رسم بعض الإنشاءات الهندسية باستخدام الفرجار والمسطرة فقط 0
س1: ارسم زاوية قياسها 550 باستخدام المسطرة والمنقلة 0 ثم انقل هذه الزاوية باستخدام الفرجار والمسطرة فقط 0





س2: ارسم مستقيما س ص ونقطة م واقعة عليه 0 ثم ارسم باستخدام الفرجار والمسطرة فقط عمودا ع ط على س ص ويمر في النقطة م 0





س3: ارسم مستقيما س ص ونقطة م لا تقع عليه 0 ثم ارسم باستخدام الفرجار والمسطرة فقط عمودا ع ط على س ص ويمر في النقطة م 0





س4: ارسم [ ب د ] 0 ثم ارسم المنصف العمودي لها باستخدام الفرجار والمسطرة فقط وسمه ع ط 0





س5: ارسم الزاوية س م ص والتي قياسها 560 0 ثم ارسم منصف لها وسمه [ م ك 0 ما قياس كل من الزاويتين س م ك ، ك م ص 0




س6 : على الشكل المقابل [ م د منصف للزاوية ب م ص 0
احسب قياس كل من الزاويتين ب م د ، د م ص 0
قياس ب م د = 560 0
قياس د م ص = 560 0
( 27 ) تمارين عامة
س1: أكمل الفراغات التالية :
1- نرمز للمستقيم الذي يمر بالنقطتين س ، ص بالرمز س ص 0
2- نرمز لنصف المستقيم الذي بدايته النقطة س ويمر في النقطة ص بالرمز [ س ص 0
3- نرمز للقطعة المستقيمة التي طرفاها النقطتين س ، ص بالرمز [ س ص ] 0
4- نرمز لطول القطعة المستقيمة التي طرفاها النقطتين س ، ص بالرمز │ س ص │0
5- الزاوية التي قياسها 562 تممها زاوية قياسها 528 0
6- الزاوية التي قياسها 5135 تكملها زاوية قياسها 545 0
7- تكون الزاويتين متقابلتين بالرأس إذا كان كل ضلع من إحداهما امتدادا لـ ضلع من الأخرى 0
8- تكون الزاويتين متجاورتين إذا كان لهما رأس مشترك و ضلع مشترك وكانتا على على جهتي الضلع المشترك 0
9- نقول عن مستقيمين أنهما متعامدان إذا كانت الزاوية بينهما قائمة ( 590 ) 0
10- المسافة بين مستقيم ونقطة خارجة عنه: هي طول القطعة المستقيمة العمودية من النقطة الخارجة عنه إلى نقطة تقاطعها مع المستقيم 0
11- كل نقطتين تحددان مستقيما واحدا فقط 0

س2: أكمل الجدول التالي :
قياس الزاوية 560 590 591 589 5124 5180 5179
نوعها حادة قائمة منفرجة حادة منفرجة مستقيمة منفرجة

س3: أكمل الجدول التالي :
الزاوية 530 573 589 510 5180 5133
متممتها 560 517 51 580
مكملتها 5150 5107 591 5170 50 547


س4: على الشكل المقابل زاوية وقطعة مستقيمة 0
1- ارسم منصف الزاوية 0
2- العمود المنصف للقطعة المستقيمة 0

س5: على الشكل المقابل م ب ┴ م ك ، م د ┴ م ل
أثبت أن ب م د = ك م ل
م ب ┴ م ك ← ب م ك = 590
م د ┴ م ل ← د م ل = 590
إذن ب م ك = د م ل
ب م ك – د م ك = د م ل – د م ك ( بطرح د م ك من الطرفين )
إذن ب م د = ك م ل وهو المطلوب إثباته 0

( 1 ) المجموعة
المجموعة : هي تجمع لأشياء معرف تعريفا تاما 0
مثل مجموعة الخلفاء الراشدين – مجموعة أركان الإسلام – مجموعة الصلوات الخمس – مجموعة العشرة المبشرين بالجنة
كل شيء تتضمنه المجموعة هو عنصر من عناصر المجموعة 0
مثال : الحج ركن من أركان الإسلام ← الحج عنصر من عناصر مجموعة أركان الإسلام 0
الظهر من الصلوات الخمس ← الظهر عنصر من عناصر مجموعة الصلوات الخمس 0
مثال : عناصر مجموعة الخلفاء الراشدين هي : أبو بكر ، عمر ، عثمان ، علي 0

س1: في الجدول التالي 0 بين أي العبارات تمثل مجموعة وأيها لا تمثل مجموعة ؟

العبارة تمثل – لا تمثل
أيام الأسبوع
الحواس الخمس
المساجد الواسعة في مدينة الرياض
الغزوات في عهد الرسول صلى الله عليه وسلم
الكتب الثقيلة الوزن
ألوان علم المملكة
أشهر السنة الهجرية
عواصم دول مجلس التعاون الخليجي
المساجد التي يشد إليها الرحال
الملاعب الجميلة في المملكة
التمارين السهلة في كتاب الرياضيات
الأعداد الأصغر من 7
الأعداد الفردية الأصغر من 7
الأعداد الأكبر من 4 والأصغر من 9

س2: أكمل الجدول التالي :

المجموعة عناصر المجموعة
أيام الأسبوع
الحواس الخمس
ألوان الطيف
المدن المقدسة في المملكة
حروف كلمة صالح
ألوان علم المملكة
أشهر السنة الهجرية
عواصم دول مجلس التعاون الخليجي
المساجد التي يشد إليها الرحال
الأعداد الزوجية الأصغر من 11
أرقام العدد 38194
الأعداد الأصغر من 7
الأعداد الفردية الأصغر من 7
الأعداد الأكبر من 4 والأصغر من 9

( 2 ) كتابة المجموعة وتمثيلها
لكتابة المجموعة : نكتب عناصرها داخل القوسين { } بدون تكرار هذه العناصر واضعين فاصلة بين كل عنصر وآخر0
مثال : أرمز لمجموعة حروف كلمة رياضيات بالرمز س 0 ثم اكتب هذه المجموعة بذكر جميع عناصرها 0
الحل : س = { ر ، ي ، ا ، ض ، ت } لاحظ أننا لم نكرر حرفي الألف و الياء 0
نرمز لكل عنصر ينتمي إلى المجموعة بالرمز ∈ ولكل عنصر لا ينتمي إلى المجموعة بالرمز ∉ 0
مثال : إذا كانت ص = { 2 ، 3 ، 4 } فإن 2 ∈ ص ، 3 ∈ ص ، 4 ∈ ص ، 5 ∉ ص ، 7 ∉ ص ، 8 ∉ ص
لتمثيل المجموعة بشكل فن نحيط عناصر المجموعة بخط مغلق ونضع
رمز المجموعة بالقرب من هذا الخط كما في الشكل المقابل 0
مثال : مثل بشكل فن المجموعة ص والتي عناصرها 2 ، 3 ، 4

س1: في الجدول التالي : اكتب بذكر جميع العناصر كلا من المجموعات التالية :

المجموعة كتابة المجموعة بذكر جميع عناصرها
س = مجموعة أيام الأسبوع س = { ، ، ، ، ، ، }
ص = مجموعة الحواس الخمس ص =
ع = مجموعة ألوان الطيف
ج = مجموعة حروف كلمة معلم
ك = مجموعة ألوان علم المملكة
ل = مجموعة الأعداد الزوجية الأصغر من 11
ف = مجموعة أرقام العدد 34134
ق = مجموعة الأعداد الأصغر من 7
ح = مجموعة الأعداد الفردية الأصغر من 7
و = مجموعة الأعداد الأكبر من 4 والأصغر من 9

س2: أملأ الفراغات التالية باستعمال أحد الرمزين ∈ ، ∉ :
الدمام ....... مجموعة المدن السعودية البحرين ....... مجموعة الدول العربية م ....... مجموعة حروف كلمة عمر
الصيف ....... مجموعة فصول السنة الجمل ....... مجموعة الحيوانات الأليفة 3 ....... مجموعة أرقام العدد 546
طلحة ....... مجموعة الخلفاء الراشدين جدة ....... مجموعة الموانئ السعودية 7 ....... مجموعة الأعداد الزوجية

س3: لاحظ تمثيل فن للمجموعات س ، ص ، ع ثم أملأ الفراغات بأحد الرمزين ∈ ، ∉ 0
2 ....... س 3 ....... ص 2 ....... ع
3 ....... س 4 ....... ص 6 ....... ع
5 ....... س 6 ....... ص 7 ....... ع
8 ....... س 7 ....... ص 8 ....... ع
9 ....... س 8 ....... ص 9 ....... ع

س4 : مثل بشكل فن كلا من المجموعات التالية :
س = { 5 ، 6 ، ب ، د } س = { ب ، ف ، د ، ر }
ص = { ل ، ب ، م ، ر } س = { 5 ، 6 }
ص = { 6 ، 7 }
ع = { 6 ، 8 }

( 3 ) المجموعات المتساوية والمجموعات المنتهية
تكون المجموعتان متساويتين : إذا كانت عناصر المجموعة الأولى هي نفس عناصر المجموعة الثانية والعكس 0
مثال : إذا كانت س = { 5 ، 6 ، 7 } ، ص = { 5 ، 6 ، 7 } فإن س = ص ( ترتيب العناصر غير مهم )
المجموعة المنتهية : هي التي يمكن الانتهاء من كتابة عناصرها 0 أو يمكن الانتهاء من عد عناصرها 0
المجموعة غير المنتهية : هي التي لا يمكن الانتهاء من كتابة عناصرها 0 أو لا يمكن الانتهاء من عد عناصرها 0
مثال : س = { 1 ، 2 ، 3 } مجموعة منتهية لأنه يمكننا الانتهاء من كتابة أو عد عناصرها 0
ص = { 1 ، 2 ، 3 ، .......... } مجموعة غير منتهية لأنه لا يمكننا الانتهاء من كتابة أو عد عناصرها 0

س1: ما قيمة س لكي تصبح كل من العبارات التالية صحيحة :

{ 2 ، 3 ، س } = { 2 ، 3 ، 5 } س = ......... 0

{ س ، * ، # } = { ^ ، * ، # } س = ......... 0

{ م ، ق ، ل } = { م ، س ، ل } س = ......... 0

{ السعودية ، العراق ، سوريا ، الهند } = { العراق ، الهند ، سوريا ، س } س = ......... 0

مجموعة حروف كلمة معلم = { ع ، ل ، س } س = ......... 0

مجموعة أرقام العدد 7926 = { 2 ، 6 ، س ، 9 } س = ......... 0

{ أحمد ، صالح ، س ، فهد } = { أحمد ، صالح ، خالد ، فهد } س = ......... 0

س2: أكمل الجدول التالي :

المجموعة منتهية – غير منتهية
مجموعة الدول العربية
مجموعة سور القرءان الكريم
مجموعة الأعداد الأكبر من 11
مجموعة المسلمين في العالم
مجموعة أرقام العدد 8491
مجموعة الأعداد الزوجية 2 ، 4 ، 6 ، ................
س = { 3 ، 4 ، 5 ، 6 }
مجموعة الأعداد الفردية 1 ، 3 ، 5 ، .................
مجموعة مضاعفات العدد 5
مجموعة الأعداد الأكبر من 4 والأصغر من 9

س3: ضع علامة ( صح ) أو علامة ( خطأ ) أمام كل من العبارات التالية :
• مجموعة حروف كلمة بلح = مجموعة حروف كلمة حلب ( ) 0

• مجموعة الحروف الهجائية مجموعة منتهية ( ) 0

• مجموعة الأعداد الأولية مجموعة منتهية ( ) 0

• الطلاب المتميزون في المدرسة لا يحددون مجموعة ( ) 0

• 3 ∈ مجموعة قواسم العدد 12 ( ) 0

( 4 ) المجموعة الجزئية
تكون ص مجموعة جزئية من س إذا كانت جميع عناصر ص موجودة في س 0 ( لاحظ في الرسم أن ص موجودة داخل س )
إذا كانت ص مجموعة جزئية من س فإننا نرمز لها بالرمز ص ⊂ س
إذا كانت ص مجموعة غير جزئية من س فإننا نرمز لها بالرمز ص ⊄ س
مثال :إذا كانت س = { 5 ، 6 ، 7 ، 8 } ، ص = { 5 ، 6 ، 7 } فإن ص ⊂ س ، س ⊄ ص
كل مجموعة هي مجموعة جزئية من نفسها 0
المجموعة الخالية : هي المجموعة التي لا يوجد بها عناصر ونرمز لها بالرمز { } أو &oslash;
المجموعة الخالية مجموعة جزئية من أي مجموعة 0

س1: لاحظ الشكل المقابل ثم أكمل الفراغات بأحد الرمزين ( ⊂ ، ⊄ ) :
ل ..... ع س ..... ل ص ..... ل ع ..... ل
ل ..... س س ..... ص ص ..... س ع ..... س
ل ..... ص س ..... ع ص ..... ع ع ..... ص

س2: إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 } فأكمل الفراغات بأحد الرمزين ( ⊂ ، ⊄ ) :
{ 2 ، 3 ، 4 } ..... س { 4 ، 5 } ..... س { 4 ، 7 } ..... س
{ 5 ، 6 ، 8 } ..... س س ..... س { } ..... س
{ 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 } ..... س &oslash; ..... س { 4 } ..... س

س3: أكمل الجدول التالي :
المجموعة خالية – غير خالية
مجموعة الدول العربية في قارة أوروبا
مجموعة سور القرءان الكريم
مجموعة الأعداد الأكبر من 11
مجموعة طلاب فصلك الذين يزيد وزنهم عن 1000 كلغم
س = { 3 ، 4 ، 5 ، 6 }
مجموعة الأنهار في المملكة
مجموعة الكنائس في المملكة
مجموعة المساجد في المملكة

س4: إذا كانت س = { 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 } ، ص = { 3 ، 4 ، 5 } فأكمل الفراغات بأحد الرموز (∈ ، ∉ ، ⊂ ، ⊄ ) :
4 ..... س 4 ..... ص { 4 } ..... س { 4 } ..... ص
6 ..... ص { 2 ، 6 } ..... س { } ..... س { } ..... ص
س ..... س س ..... ص ص ..... س ص ..... ص
5 ..... ص 2 ..... ص 7 ..... س 6 ..... ص
{ 2 ، 3 ، 4 ، 5 } ..... س { 3 ، 4 ، 5 } ..... س { 3 ، 4 ، 5 } ..... ص


( 5 ) العمليات على المجموعات
تقاطع مجموعتين س ، ص هو المجموعة التي عناصرها تنتمي إلى س وإلى ص ( يعني نأخذ العناصر المشتركة بين س ، ص )
نرمز للتقاطع بالرمز ∩
نقول عن مجموعتين أنهما منفصلتان إذا كان س ∩ ص = &oslash; ( يعني لا يوجد تقاطع بينهما )
اتحاد مجموعتين س ، ص هو المجموعة التي عناصرها تنتمي إلى س أو إلى ص ( يعني نأخذ عناصر المجموعتين بدون تكرار )
نرمز للإتحاد بالرمز ∪
مثال: إذا كانت س = { 3 ، 4 ، 5 } ، ص = { 3 ، 4 ،6 }
فإن س ∩ ص = { 3 ، 4 }
س ∪ ص = { 3 ، 4 ، 5 ، 6 }

س1: لاحظ أشكال فن ثم أوجد :



س ∩ ص = ................................ س ∩ ص = .......................................
س ∪ ص = ................................ س ∪ ص = .......................................

س2: أكمل الجدول التالي :

س ص س ∩ ص س ∪ ص
{ 1 ، 2 ، 5 } { 2 ، 3 ، 7 }
{ أ ، ب ، د ، م } { ف ، ب ، و ، م }
{ فهد ، حمد ، سعد } { صالح ، خالد }
{ △ ، ◇ ، ◉ ، □ } { △ ، ◉ ، ⋈ ، ◇ }
{ } { 4 ، 5 ، 9 }

س3: إذا كانت س = { ب ، د ، 3 ، 8 } ، ص = { م ، 3 ، 5 ، و } فأوجد س ∩ ص ، س ∪ ص ومثل كلا منهما بشكل فن :
س ∩ ص = ................................... س ∪ ص = ............................................
( 6 ) تمارين عامة
س1: ضع علامة ( صح ) أو علامة ( خطأ ) أمام كل من العبارات التالية :
• مجموعة حروف كلمة المملكة = مجموعة حروف كلمة الملاكمة ( ) 0

• التمارين الصعبة في مادة العلوم تحدد مجموعة ( ) 0

• الموانئ الواسعة في دول الخليج العربي تحدد مجموعة ( ) 0

• مجموعة أركان الحج تحدد مجموعة ( ) 0

• 5 ∈ مجموعة مضاعفات العدد 10 ( ) 0

• 7 ∈ مجموعة الأعداد الفردية الأكبر من 4 والأصغر من 14 ( ) 0

• { 2، 5 } ⊂ { 2 ، 3 ، 4 ، 5 } ( ) 0

• 6 ⊂ { 6 ، 7 ، 8 } ( ) 0

• { } مجموعة جزئية من أي مجموعة ( ) 0

• مجموعة الأعداد الزوجية مجموعة منتهية ( ) 0

• مجموعة دول الخليج العربي في قارة أفريقيا مجموعة غير خالية ( ) 0

س2: من الشكل المقابل أكتب المجموعات التالية بذكر جميع عناصرها :
س = .................................................. .....
ص = .................................................. .....
ع = .................................................. .....
س ∩ ص = .................................... س ∩ ع = ......................................
ص ∩ ع = .................................... س ∪ ص = ......................................
س ∪ ع = ...................................... ص ∪ ع = .................................................. ......
س ∩ ص ∩ ع = ....................................... س ∪ ص ∪ ع = ................................................


س3: أملأ كلا من الفراغات التالية بأحد الرموز (∈ ، ∉ ، ⊂ ، ⊄ ) :
( 1 ) الكويت ...... دول مجلس التعاون الخليجي 0
( 2 ) { } ...... مجموعة طلاب فصلك 0
( 3 ) { 4 } ...... { 3 ، 5 ، 7 } 0
( 4 ) خالد بن الوليد ...... مجموعة الصحابة 0
( 5 ) س ...... س 0
( 6 ) شعبان ...... مجموعة الأشهر الحرم 0
( 7 ) 14 ...... مجموعة الأيام البيض 0
( 7 ) مجموعة الأعداد الكلية وترتيبها
نرمز للأعداد الطبيعية بالرمز ط وهي : ط = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، ................................... }
عند إضافة { 0 } إلى ط نحصل على الأعداد الكلية والتي نرمز لها بالرمز ك 0
أي أن ك = { 0 } ∪ ط وهذا يعني أن ك = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، ............................ }
ومن ذلك نستنتج أن ط ⊂ ك
ليكن س رمزا لعدد كلي :
فإن س < 5 تقرأ س أصغر من 5 وتعني الأعداد الكلية الأصغر من 5 فقط 0 أي أن س ∈ { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 }
س > 5 تقرأ س أكبر من 5 وتعني الأعداد الكلية الأكبر من 5 فقط 0 أي أن س ∈ { 6 ، 7 ، 8 ، ....................}
س ≤5 تقرأ س أصغر من أو يساوي 5 وتعني الأعداد الكلية الأصغر من 5 بما فيها ال 5 أي أن س ∈ { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5}
س ≥5 تقرأ س أكبر من أو يساوي 5 وتعني الأعداد الكلية الأكبر من 5 بما فيها ال 5 0 أي أن س ∈ { 5 ، 6 ، 7 ، ........}
3 < س < 7 تقرأ س أكبر من 3 وأصغر من 7 وتعني الأعداد الكلية الواقعة بين 3 ، 7 فقط 0 أي أن س ∈ { 4 ، 5 ، 6 }
3 ≤ س ≤ 7 تقرأ س أكبر من أو تساوي 3 وأصغر من أو تساوي 7 وتعني الأعداد الكلية الواقعة بين 3 ، 7 بما فيها 3 ، 7 0 أي أن
س ∈ { 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 }
س1: أملأ كلا من الفراغات التالية بأحد الرموز (∈ ، ∉ ) :
6 ...... ك 0 ...... ك 15 ...... ك 8765 ...... ك
23 ...... ك 157 ...... ك 38 5 ...... ك 2.34 ...... ك
س2: قارن بين كل عددين فيما يلي :
2375 ...... 2374 44444 ...... 444444
68493 ...... 68453 5800167 ...... 5800167

س3: رتب الأعداد التالية تنازليا :
243 ، 234 ، 2432 ، 432
........ ، ........ ، ........ ، ........
س4: إذا كانت س ∈ ك ، فاكتب بذكر جميع العناصر مجموعة القيم التي يأخذها المتغير س :
الجملة الرياضية مجموعة القيم التي يأخذها المتغير س
س < 6 س ∈ { .... ، .... ، .... ، .... ، .... ، .... }
س ≤ 8
س > 7
س ≥ 9
8 < س < 15
6 ≤ س ≤ 10
6 < س ≤ 10
6 ≤ س < 10

( 8 ) خواص جمع الأعداد الكلية
خواص عملية الجمع في ك :
( 1 ) إذا كان أ ، ب ∈ ك فإن : أ + ب = ب + أ ← عملية الجمع في ك عملية إبدالية 0
مثال : 5 + 3 = 3 + 5 ← 8 = 8
( 2 ) إذا كان أ ، ب ، جـ ∈ ك فإن : أ + ( ب + جـ ) = ( أ + ب ) + جـ ← عملية الجمع في ك عملية تجميعية 0
مثال : 2 + ( 3 + 5 ) = ( 2 + 3 ) + 5 ← 2 + 8 = 5 + 5 ← 10 = 10
( 3 ) إذا كان أ ∈ ك فإن : أ + 0 = 0 + أ = أ ← الصفر هو العنصر المحايد في ك بالنسبة لعملية الجمع 0
مثال : 7 + 0 = 0 + 7 = 7
( 4 ) إذا كان أ ، ب ، جـ ∈ ك وكان ب + جـ = أ فإن : أ - ب = جـ ، أ – جـ = ب ← ينتج من عملية الجمع عمليتي طرح
مثال : ينتج من عملية الجمع 5 + 3 = 8 عمليتي طرح هما 8 – 3 = 5 ، 8 – 5 = 3

س1: أجر خطوات التبديل والتجميع المناسبة لكي تحسب ما يلي :
4 + 35 + 6 40 + 129 + 60 80 + 714 + 20
..... + ( ..... + ..... ) ..... + ( ..... + ..... ) ..... + ( ..... + ..... )
..... + ( ..... + ..... ) ..... + ( ..... + ..... ) ..... + ( ..... + ..... )
( ..... + ..... ) + ..... ( ..... + ..... ) + ..... ( ..... + ..... ) + .....
..... + ..... = ..... ..... + ..... = ..... ..... + ..... = .....

س2: إذا كانت س ، ص ، ع أعدادا كلية ، فاشرح خطوات التبديل والتجميع في كل مما يلي :
( س + ص ) + ع = س + ( ص + ع ) .....................
= ( ص + ع ) + س .....................
= ( ع + ص ) + س .....................
= ع + ( ص + س ) .....................
= ع + ( س + ص ) .....................
س3: احسب ما يلي :
6 + [ 10 – ( 3 + 4 ) ]



[ ( 18 – 12 ) + ( 7 + 2 ) ] - 11 35 – { 4 + [ 13 – ( 3 + 7 ) ] }

س4 : ما هي عمليات الطرح التي تنتج من عمليات الجمع التالية :
7 + 9 = 16 10 + 15 = 25 س + 4 = 11 أ + ب = د
.... - .... = .... .... - .... = .... .... - .... = .... .... - .... = ....
.... - .... = .... .... - .... = .... .... - .... = .... .... - .... = ....

( 9 ) خواص ضرب الأعداد الكلية
خواص عملية الجمع في ك :
( 1 ) إذا كان أ ، ب ∈ ك فإن : أ × ب = ب × أ ← عملية الضرب في ك عملية إبدالية 0
مثال : 5 × 3 = 3 × 5 ← 15 = 15
( 2 ) إذا كان أ ، ب ، جـ ∈ ك فإن : أ × ( ب × جـ ) = ( أ × ب ) × جـ ← عملية الضرب في ك عملية تجميعية 0
مثال : 2 × ( 3 × 5 ) = ( 2 × 3 ) × 5 ← 2 × 15 = 6 × 5 ← 30 = 30
( 3 ) إذا كان أ ∈ ك فإن : أ + 1 = 1 + أ = أ ← الواحد هو العنصر المحايد في ك بالنسبة لعملية الضرب 0
مثال : 7 × 1 = 1 × 7 = 7
( 4 ) إذا كان أ ، ب ، جـ ∈ ك فإن : أ × ( ب + جـ ) = ( أ × ب ) + ( أ × جـ ) ← عملية الضرب في ك توزيعية على الجمع 0
مثال : 2 × ( 3 + 5 ) = ( 2 × 3 ) + ( 2 × 5 ) ← 2 × 8 = 6 + 10 ← 16 = 16
س1: أكمل الجدول التالي :
العملية ( صح – خطأ ) تصحيح الخطأ
416 × 200 ≠200 × 416
235 × 0 = 235
378 + 1 = 378
8 × ( 6 × 7 ) = ( 8 + 6 ) × 7
7 × ( 5 + 4 ) = ( 7 + 5 ) × ( 7 + 4 )

س2: بالاعتماد على خصائص الضرب احسب ما يلي :
2 × 35 × 50

9 × 2 × 6 × 5 67 × 80 + 67 × 20 40 × 102

س3: احسب كلا مما يلي :
6 + [ 15 – ( 3 × 4 ) ]


[ ( 3 × 7 ) + ( 7 - 2 ) ] × 10 35 – { 4 × [ 13 – ( 3 + 7 ) ] }

س4: احسب كلا مما يلي بطريقتين :
5 × ( 14 + 6 ) 4 × ( 30 + 70 )
الطريقة الأولى الطريقة الثانية الطريقة الأولى الطريقة الثانية




( 10 ) قسمة الأعداد الكلية
عملية القسمة عملية عكسية لعملية الضرب 0
ينتج من عملية الضرب عمليتي قسمة
مثال: ينتج من عملية الضرب 5 × 6 = 30 عمليتي قسمة هما 30 ÷ 5 = 6 ، 30 ÷ 6 = 5
عملية القسمة الإقليدية هي :
المقسوم = خارج القسمة × المقسوم عليه + الباقي ( بشرط أن الباقي أصغر من المقسوم عليه )
م = خ × ع + ب ( بشرط ب < ع )
مثال: 17 = 3 × 5 + 2 قسمة اقليدية على 3 لأن 2 < 5

س1: ما هي عمليات القسمة التي تنتج من عمليات الضرب التالية :
7 × 9 = 63 10 × 15 = 150 س × 4 = 12 أ × ب = د
.... ÷ .... = .... .... ÷ .... = .... .... ÷ .... = .... .... ÷ .... = ....
.... ÷ .... = .... .... ÷ .... = .... .... ÷ .... = .... .... ÷ .... = ....

س2: أي من الجمل الرياضية التالية يمكن اعتبارها قسمة اقليدية ؟ مع ذكر السبب :
الجملة الرياضية قسمة اقليدية – قسمة غير اقليدية السبب
33 = 5 × 6 + 3
42 = 6 × 7 + 0
18 = 3 × 4 + 6
29 = 3 × 9 + 2
54 = 6 × 8 + 8

س3: ما العدد الذي إذا قسم بدون باق على 12 كان خارج القسمة 9 0



س4: ما العدد الذي إذا قسم على 22 كان خارج القسمة 10 والباقي 8 0


س5: ما هي قيم س التي تجعل كلا من المسا واتين التاليتين قسمة اقليدية في ك :
م = 7 × س + 4



م = 2 × س + 6

( 11 ) قوى عدد كلي
العدد س2 يقرأ [ س أس 2 ] أو [ القوة الثانية للعدد س ] أو [ مربع العدد س ] 0
العدد س3 يقرأ [ س أس 3 ] أو [ القوة الثالثة للعدد س ] أو [ مكعب العدد س ] 0
العدد سم يقرأ [ س أس م ] أو [ القوة الميمية للعدد س ] 0
أي عدد أس صفر فإنه = 1 بشرط أن العدد ≠ 0
عملية جمع القوى لا تختصر إلا إذا كان للأعداد الأساس نفسه والأس نفسه 0
مثال: اختصر 4 × 56 + 7 × 56
الحل: ( 4 + 7 ) × 56 = 11 × 56
لكتابة أي عدد كلي كمجموع لقوى العشرة تتبع حل المثال التالي :
مثال: اكتب العدد 41583 كمجموع قوى للعدد 10 0
الحل: 41583 = 3 × 010 + 8 × 110 + 5 × 210 + 1 × 310 + 4 × 410

س1: اقرأ الأعداد التالية بعدة قراءات:
العدد القراءة الأولى القراءة الثانية القراءة الثالثة
26
37
58
4س

س2: حول العمليات التالية إلى ضرب مكرر أو إلى جمع مكرر:
4 × 7 = ........................ 3 × س = ........................ 43 = ........................
47 = ........................ س3= ........................ 34 = ........................

س3: إذا كانت س= 2 ، ص = 3 فاحسب ما يأتي:
5 × س = ........................... س4 = ............................. ص2 = .................................
س × ص = ........................... سص = ............................. صس = ................................

س4: اختصر ما يلي :
6 × 45 + 3 × 45
= ( ..... + ..... ) × .....
= ..... × ..... 7 × 68 + 11 × 68
= ( ..... + ..... ) × .....
= ..... × ..... 3 × 97 + 97
= ( ..... + ..... ) × .....
= ..... × ..... 53+ 53
= ( ..... + ..... ) × .....
= ..... × .....

س5 اكتب الأعداد التالية كمجموع قوى للعدد 10 :
64923 = .................................................. .................................................. .......... 0
57306 = .................................................. .................................................. .......... 0

( 12 ) العمليات على القوى
إذا كان أ ، ب ، س ∈ ك فإن : سأ × سب = سأ + ب ← ( في الضرب إذا كان الأساس = الأساس نجمع الأسس )
مثال : 45 × 75 = 5 4 + 7 = 125
إذا كان أ ، ب ، س ∈ ك ، أ ≥ ب ، س ≠ 0 فإن : سأ ÷ سب = سأ – ب ← ( في القسمة إذا كان الأساس = الأساس نطرح الأسس )
مثال : 67 ÷ 47 = 7 6 – 4 = 27
إذا كان أ ، ب ، س ∈ ك فإن : [ سأ ]ب = سأ × ب ← ( في الرفع إلى قوتين نضرب الأسس )
مثال = [ 46 ]5 = 6 4 × 5 = 206
إذا كان أ ، س ، ص ∈ ك فإن : ( س × ص )أ = سأ × صأ ← ( إذا كان حاصل ضرب عددين مرفوع إلى قوة نوزع القوة على العددين)
مثال: ( 3 × 5 )7 = 73 × 75
س1: حول الأعداد التالية إلى قوى :
4 = ..................................... 9 = ..................................... 27 = ...................................
32 = ................................... 81 = ................................... 625 = .................................

س2: اكتب كلا مما يلي على صورة قوة واحدة لعدد واحد :
46 × 56 = .................................................. 83 × 63 = ..................................................
119 ÷ 79 = ................................................ 84 ÷ 54 = ..................................................
45 × 48 = .................................................. 86 ×83 = .................................................. .
( 43 )5 = .................................................. .. ( 62 )4 = .................................................. ..
( 47 )5 × 77 = .................................................. .................................................. .............
( 85 )6 ÷ ( 75 )5 = .................................................. .................................................. .......
( 25 )4 × 65 = .................................................. .................................................. .............
( 16 )5 ÷ ( 8 )4 = .................................................. .................................................. .........

س3: احسب قيمة س فيما يلي :
( 53 )س = 203



6س = 76 × 46
2س ÷ 42 = 8
43 × 45 = 15س


س4: احسب ما يلي :
53 × 43 ÷ 63


42 × 72 ÷ 112
54 × 68 ÷ ( 16 )7

( 13 ) تمارين عامة
س1: اختر الإجابة الصحيحة في كل مما يلي :
إذا كانت س < 4 ، س ∈ ك فإن القيم التي يأخذها المتغير س هي :
{ 1 ، 2 ، 3 } { 0 ، 1 ، 2 ، 3 } { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 }
إذا كانت3 ≤ س < 7 ، س ∈ ك فإن القيم التي يأخذها المتغير س هي :
{ 3 ، 4 ، 5 ، 6 } { 4 ، 5 ، 6 ، 7 } { 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 }
إذا كانت س ، ص ، ع ∈ ك فإن العملية س × ( ص × ع ) = ( س × ص ) × ع تسمى :
عملية إبدالية عملية تجميعية عملية توزيع الضرب على الجمع
إذا كانت س ، ص ∈ ك فإن العملية س + ص = ص + س تسمى :
عملية إبدالية عملية تجميعية عملية توزيع الضرب على الجمع
إذا كانت س ، ص ، ع ∈ ك فإن العملية س × ( ص + ع ) = ( س × ص ) + ( س × ع تسمى :
عملية إبدالية عملية تجميعية عملية توزيع الضرب على الجمع
تكون العبارة م = خ × ع + ب قسمة اقليدية إذا كان :
ب < ع ب > ع ب = ع
العدد الذي إذا قسم على 10 كان خارج القسمة 24 والباقي 8 هو :
240 232 248
إذا كانت س = 2 ، ص = 3 فإن قيمة س2 × ص3 تساوي :
36 108 24
عند اختصار العبارة 5 س4 + 3 س4 فأن الناتج يساوي :
8 س4 8 س16 8 س8
عند حساب 49 ÷ { 25 – [ ( 3 × 2 ) + ( 4 + 8 ) ] } فإن الناتج يساوي :
7 8 9
عند حساب 23 × 3 ÷ 27 فإن الناتج يساوي :
صفر 1 2
إذا كانت س4 = 16 فإن قيمة س تساوي :
1 2 4

س2: أكمل الفراغات التالية بوضع أحد الرموز ( > ، < ، = ) :
23 ...... 32 9402 ...... 9042 25 × 45 ...... 85
( 17 )0 ...... 1 20 – 4 ...... 42 52 × 53 ...... 56

س3: أكتب العدد التالي كمجموع قوى العدد 10 :
258106 = .................................................. .................................................. .......................


( 14 ) قواسم عدد كلي
قواسم عدد هي : الأعداد التي يقبل القسمة عليها هذا العدد 0
نرمز لقواسم عدد س بالرمز ق س
مثال: قواسم العدد 6 هي: ق6 = { 1 ، 2 ، 3 ، 6 } لأن العدد 6 يقبل القسمة عليها جميعا بدون باق 0
نقول أن العدد ب قاسم للعدد س إذا وجدنا عددا آخرا د بحيث : ب × د = س ، ب ≠ 0
مثال: العدد 2 قاسم للعدد 6 لأننا وجدنا عددا آخرا وهو 3 بحيث أن 2 × 3 = 6
إذا كان س قاسما مشتركا لعددين فإنه قاسما لمجموعهما وللفرق بينهما 0
مثال: 2 قاسم مشترك للعددين 6 ، 8 وبالتالي فهو قاسم لمجموعهما 14 وللفرق بينهما وهو 2
للبحث عن قواسم عدد وليكن 8 مثلا نتبع الآتي :
نبدأ بالعدد 1 ونسأل هل هناك عدد إذا ضربناه في 1 يكون الناتج 8 فنجد أن 1 × 8 = 8 وهذا يعني أن 1 قاسم للعدد 8
ننتقل للعدد 2 ونسأل هل هناك عدد إذا ضربناه في 2 يكون الناتج 8 فنجد أن 2 × 4 = 8 وهذا يعني أن 2 قاسم للعدد 8
ننتقل للعدد 3 ونسأل هل هناك عدد إذا ضربناه في 3 يكون الناتج 8 فنجد أنه لا يوجد عدد إذا ضربناه في 3 يكون الناتج 8 وهذا يعني أن
3 ليس قاسما للعدد 8
ننتقل للعدد 4 ونسأل هل هناك عدد إذا ضربناه في 4 يكون الناتج 8 فنجد أن 4 × 2 = 8 وهذا يعني أن 4 قاسم للعدد 8
لاحظ كيف تكرر عندنا 2 × 4 ، 4 × 2 وهنا نتوقف عن البحث ونكتب قواسم العدد 8 وهي 1 ، 2 ، 4 ، 8
س1: استخدم الأعداد ( 55 ، 16 ، 27 ، 77 ) لتملأ الفراغات التالية :
2 قاسم للعدد ........... لأننا وجدنا عددا آخرا وهو ..... بحيث أن : 2 × ...... = ......
3 قاسم للعدد ........... لأننا وجدنا عددا آخرا وهو ..... بحيث أن : 3 × ...... = ......
5 قاسم للعدد ........... لأننا وجدنا عددا آخرا وهو ..... بحيث أن : 5 × ...... = ......
7 قاسم للعدد ........... لأننا وجدنا عددا آخرا وهو ..... بحيث أن : 7 × ...... = ......

س2: حدد المجموعات التالية:
ق12 = { ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... }
ق18 = { ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... }
ق40 = { ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... }
ق12∩ ق18 = { ...... ، ...... ، ...... ، ...... }
ق12∩ ق40 = { ...... ، ...... ، ...... }
ق18∩ ق40 = { ...... ، ...... }
القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 ، 18 = ............ القاسم المشترك الأكبر للعددين 12 ، 40 = ............
القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 40 = ............

س3: ما هي القيم التي يأخذها المتغير س ∈ ك بحيث تكون العبارات التالية صحيحة :
2 قاسم لـ ( س + 18 ) بشرط أن س < 10 س ∈ { ...................................... }
3 قاسم لـ ( س + 12 ) بشرط أن س < 10 س ∈ { ...................................... }
4 قاسم لـ ( س - 8 ) بشرط أن 10 < س < 22 س ∈ { ...................................... }
5 قاسم لـ ( س - 10 ) بشرط أن 13 < س < 33 س ∈ { ...................................... }
( 15 ) مضاعفات عدد كلي
نقول أن العدد س مضاعف للعدد ب إذا وجدنا عددا آخرا د بحيث : ب × د = س ، س ≠ 0
نرمز لمضاعف عدد س بالرمز م س
مثال: العدد 10 مضاعف للعدد 5 لأننا وجدنا عددا آخرا وهو 2 بحيث أن 2 × 5 = 10
مجموع مضاعفي عدد والفرق بينهما هما مضاعفان لهذا العدد 0
مثال: 6 ، 10 مضاعفان للعدد 2 وبالتالي فإن مجموعهما وهو 16 مضاعف للعدد 2 والفرق بينهما وهو 4 مضاعف للعدد 2
للبحث عن مضاعفات عدد نتبع الآتي :
مثال : اكتب المضاعفات الأربعة الأولى للعدد 5
الحل: نضرب العدد 5 في 1 ثم في 2 ثم في 3 ثم في 4 فنحصل على م 5 = { 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، .............................. }
س1: أكمل الجدول التالي :
العدد المضاعف الأول المضاعف الثاني المضاعف الثالث المضاعف الرابع المضاعف الخامس المضاعف السادس
7
9
10

س2: اكتب المضاعفات العشرة الأولى لكل من الأعداد 4 ، 6 ، 8 :
م 4 = { ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، 00000000000000000 }
م 6 = { ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، 00000000000000000 }
م 8 = { ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، 00000000000000000 }
م 4∩ م 6 = { ...... ، ...... ، ......، 000000000000000000 }
م 4∩ م 8 = { ...... ، ...... ، ...... ، ...... ، 0000000000000 }
م 6∩ م 8 = { ...... ، ...... ، 0000000000000000000000 }
المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 ، 6 = ............ المضاعف المشترك الأصغر للعددين 4 ، 8 = ............
المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 ، 8 = ............

س3: باستخدام خاصية توزيع الضرب على الجمع والطرح وضح ما يلي :
6 + 12 مضاعف لـ 3
( ... × ... ) + ( ... × ... )
.... × ( .... + .... )
.... × .... 15 + 20 مضاعف لـ 5
( ... × ... ) + ( ... × ... )
.... × ( .... + .... )
.... × .... 20 - 12 مضاعف لـ 4
( ... × ... ) - ( ... × ... )
.... × ( .... - .... )
.... × .... 30 - 18 مضاعف لـ 6
( ... × ... ) - ( ... × ... )
.... × ( .... - .... )
.... × ....

س4: اختر ما يناسب من بين القوسين لتملأ الفراغات التالية :
( 1 ) العدد ...... هو المضاعف الثامن للعدد 7 ( 14 ، 56 ، 70 )
( 2 ) العدد ...... هو المضاعف المشترك الأصغر للعددين 3 ، 6 ( 3 ، 6 ، 12 )
( 3 ) المقدار ( .... + .... ) هو مضاعف للعدد 4 [ ( 8 + 16 ) ، ( 12 ، 15 ) ، ( 14 ، 24 ) ]

( 16 ) الأعداد الأولية
العدد الأولي: هو العدد الذي له قاسمان فقط هما الواحد والعدد نفسه 0
مثل 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، 19 ، 23 ، 29 ، 31 ، 37 ، 41 ، 43 ، 47 ، 53 ، 57 ، 59 ، 61 ، 67 ، 71 ، 73 ، 79 ، 83 ، 89 ، 97 ، ........................................
أصغر قاسم غير الواحد لعدد كلي هو عدد أولي
مثال: عين أصغر قاسم غير الواحد للأعداد 12، 15 ، 35
الحل : ق12 = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12 } ← أصغر قاسم غير الواحد هو 2 وهو عدد أولي 0
ق15 = { 1 ، 3 ، 5 ، 15} ← أصغر قاسم غير الواحد هو 3 وهو عدد أولي 0
ق35 = { 1 ، 5 ، 7 ، 35} ← أصغر قاسم غير الواحد هو 5 وهو عدد أولي 0
لتحليل عدد إلى عوامله الأولية نقسمه أولا على 2 ثم على 3 ثم على 5 ثم على7 وهكذا حتى تنتهي القسمة بالعدد 1
مثال : حلل العدد 60 إلى عوامله الأولية
الحل: 60 = 22 × 3 × 5
طريقة أخرى : 60 = 6 × 10 = 2 × 3 × 2 × 5 = 22 × 3 × 5

س1: ضع علامة ( صح ) أمام العبارة الصحيحة وعلامة ( خطأ ) أمام العبارة الخاطئة 0
1- العدد 35 عدد أولي ( ) 0 2- العدد 36976 يقبل القسمة على 2 ( ) 0
3- العدد 47 عدد أولي ( ) 0 4- العدد 462 يقبل القسمة على 3 ( ) 0
5- العدد 25918 عدد أولي ( ) 0 6- العدد 36976 يقبل القسمة على 5 ( ) 0
7- العدد 1 عدد أولي ( ) 0 8- مجموع عددين أوليين أكبر من 2 هو عدد أولي ( ) 0
9- أصغر قواسم العدد 2124 الأكبر من 1 هو 6 ( ) 0 10- أصغر قواسم العدد 486 الأكبر من 1 هو 9 ( ) 0
11- العدد 89 عدد أولي ( ) 0 12- كل عددين متتاليين غير 2 ، 3 لا يمكن أن يكونا أوليين ( ) 0

س2: أكتب التوائم الأولية الأصغر من 40 : ( التوائم الأولية عبارة عن عددين أوليين الفرق بينهما 2 مثل 57 ، 59)
..... ، ..... ، ..... ، ..... ، ..... ، ..... ، ..... ، ..... ، ..... ، .....

س3: حلل الأعداد التالية إلى عواملها الأولية :
84 = ... × ... × ... × ... = ... × ... × ...

120 = ... × ... × ... × ... × ... = ... × ... × ...

180 = ... × ... × ... × ... × ... = ... × ... × ...

840 = ... × ... × ... × ... × ... × ... = ... × ... × ... × ...

1650 = ... × ... × ... × ... × ... = ... × ... × ... × ...

( 17 ) القاسم المشترك الأكبر
نحسب القاسم المشترك الأكبر لعددين بثلاث طرق ونرمز له بالرمز ق 0 م 0 أ
الطريقة الأولى : طريقة مجموعة القواسم
مثال : أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 24 بطريقة مجموعة القواسم :
الحل أولا : ق18 = { 1، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 } 0 ق24 = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 8 ، 12 ، 24 }
ثانيا : ق18 ∩ ق24 = { 1 ، 2 ، 3 ، 6 } وتسمى القواسم المشتركة للعددين 0
ثالثا : نختار أكبر القواسم المشتركة للعددين ونحصل على القاسم المشترك الأكبر للعددين وهو العدد 6 ← ق 0 م 0 أ = 6
الطريقة الثانية : طريقة التحليل إلى العوامل الأولية
مثال: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 24 بطريقة التحليل إلى عواملهما الأولية :
الحل : أولا : نحلل العددين إلى عواملهما الأولية : 18 = 2 × 23 24 = 32 × 3
ثانيا : نختار العوامل المشتركة والتي لها الأس الأصغر وهي 2 ، 3
ثالثا : نضرب العوامل المختارة فنحصل على ق 0 م 0 أ = 2 × 3 = 6
الطريقة الثالثة : طريقة القسمة المطولة
مثال : أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 24 بطريقة القسمة المطولة : (يشترط أن لا يكون أحد العددين قاسم للآخر )
الحل: أولا : نقسم العدد الأكبر على الأصغر
24 ÷ 18 = 1 والباقي 6
ثانيا : نقسم المقسوم عليه على الباقي
18 ÷ 6 = 3 والباقي صفر
ثالثا : نلاحظ أن الباقي أصبح صفرا وهنا يكون ق 0 م 0 أ = المقسوم عليه = 6
ملاحظة : إذا لم يكن الباقي صفرا نستمر في قسمة المقسوم عليه على الباقي حتى يكون الباقي صفرا ويكون ق 0 م 0 أ = المقسوم عليه
العددان اللذان قاسمهما المشترك الأكبر هو العدد 1 يسميان عددين أوليين فيما بينهما 0
مثال : هل العددان 15 ، 20 أوليان فيما بينهما ؟
الحل : نحلل العددين إلى عواملهما الأولية : 20 = 22 × 5 21 = 3 × 7
نلاحظ أنه لا يوجد عامل مشترك بين العددين فيكون القاسم المشترك الأكبر لهما هو الواحد وبالتالي فهما أوليان فيما بينهما 0
لحساب القاسم المشترك الأكبر لعدة أعداد نستخدم إحدى الطريقتين ( مجموعة القواسم أو التحليل إلى العوامل الأولية )
مثال : أوجد القاسم المشترك الأكبر للأعداد 20 ، 30 ، 50 بطريقتين 0
الحل : طريقة مجموعة القواسم : طريقة التحليل إلى العوامل الأولية :
ق20 = { 1 ، 2 ، 4 ، 5 ، 10 ، 20 } 20 = 22 × 5
ق 30 = { 1 ، 2 ، 3 ، 5 ، 6 ، 10 ، 15 ، 30 } 30 = 2 × 3 × 5
ق50 = { 1 ، 2 ، 5 ، 10 ، 25 ، 50 } 50 = 2 × 25
ق20 ∩ ق30 ∩ ق50 = { 1 ، 2 ، 5 ، 10 } ق 0 م 0 أ = 2 × 5 = 10
ق 0 م 0 أ = 10
نستخدم القاسم المشترك الأكبر لتبسيط الكسور ( وذلك بقسمة كل من البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر )
مثال : بسط الكسر 1230
الحل : 12 = 22 × 3 30 = 2 × 3 × 5 ق 0 م 0 أ = 2 × 3 = 6
1230 = 12÷630÷6 = 215

س1: أوجد ق 0 م 0 أ لكل عددين فيما يلي بثلاث طرق : ( 18 )
العددان طريقة مجموعة القواسم طريقة التحليل إلى العوامل الأولية طريقة القسمة المطولة
12، 20 ق12 = { ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... }
ق20 = { ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... }
ق12 ∩ ق20 = { ... ، ... ، ... }
ق 0 م 0 أ = ... 12 = ... × ...
20 = ... × ...
ق 0 م 0 أ = ... = ... ... ÷ ... = ... والباقي ...
... ÷ ... = ... والباقي ...
... ÷ ... = ... والباقي ...
ق 0 م 0 أ = ...
28 ، 70 ق28 = { ... ، ... ، .. ، ... ، ... ، ... }
ق70 = { .. ، .. ، .. ، .. ، .. ، .. ، .. }
ق28 ∩ ق70 = { ... ، ... ، ... ، ... }
ق 0 م 0 أ = ... 28 = ... × ...
70 = ... × ... × ...
ق 0 م 0 أ = .. × .. = ... ... ÷ ... = ... والباقي ...
... ÷ ... = ... والباقي ...
ق 0 م 0 أ = ...

س2 : في الجدول التالي بين ما إذا كان العددان أوليين فيما بينهما أم لا ؟
15 ، 22
15 = ... × ...
22 = ... × ...
...............................
............................... 14 ، 21
14 = ... × ...
21 = ... × ...
...............................
............................... 20 ، 35
20 = ... × ...
35 = ... × ...
...............................
............................... 18 ، 77
18 = ... × ...
77 = ... × ...
...............................
...............................

س3 : أوجد ق 0 م 0 أ للأعداد 200 ، 240 ، 700
200 = ... × ... 240 = ... × ... × ... 700 = ... × ... × ...
ق 0 م 0 أ = ... × ... = ...

س4: في الجدول التالي بسط كلا من الكسور التالية باستخدام ق 0 م 0 أ
2835
28 = ... × ...
35 = ... × ...
ق 0 م 0 أ = ....
2835 = 28÷ ...35÷ ... = ......
3042
30 = ... × ... × ...
42 = ... × ... × ...
ق 0 م 0 أ = .... ×.... = ....
3042 = 30÷ ...42÷ ... = ......
4554
45 = ... × ...
54 = ... × ...
ق 0 م 0 أ = ....
4554 = 45÷...54÷... = ......


س5: يراد فرش مسجد مستطيل الشكل طوله 150م وعرضه 40م بسجاد مربع الشكل0ما بعد أكبر نوع من السجاد يناسب فرش المسجد ؟
150 = ... × ... × ... 40 = ... × .... ق 0 م 0 أ = ... × ... = ...
بعد أكبر نوع من السجاد يناسب فرش المسجد = ... م

( 19 ) المضاعف المشترك الأصغر
نحسب المضاعف المشترك الأصغر لعددين بطريقتين ونرمز له بالرمز م 0 م 0 أ
الطريقة الأولى : طريقة مجموعة المضاعفات
مثال : أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 ، 8 بطريقة مجموعة القواسم :
الحل أولا : م6 = { 6، 12 ، 18 ، 24 ، 30 ، 36 ، 42 ، 48، 54 ، 60 ‘ 66 ‘ 72 ، 78 ............... } 0
م8 = { 8 ، 16 ، 24 ، 32 ، 40 ، 48 ، 56 ، 64 ، 72 ، 80 ، 88 ، 96 ، 104 ............... } 0
ثانيا : م6 ∩ م8 = { 24 ، 48 ، 72 ، ............ } وتسمى المضاعفات المشتركة للعددين 0
ثالثا : نختار أصغر المضاعفات المشتركة للعددين ونحصل على المضاعف المشترك الأصغر للعددين وهو العدد 24 ← م 0 م 0 أ = 24
الطريقة الثانية : طريقة التحليل إلى العوامل الأولية
مثال: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين 6 ، 8 بطريقة التحليل إلى عواملهما الأولية :
الحل : أولا : نحلل العددين إلى عواملهما الأولية : 6 = 2 × 3 8 = 32
ثانيا : نختار العوامل المشتركة والتي لها الأس الأكبر وهي 32 وكذلك العوامل غير المشتركة وهي 3
ثالثا : نضرب العوامل المختارة فنحصل على م 0 م 0 أ = 32× 3 = 8 × 3 = 24
لحساب المضاعف المشترك الأصغر لعدة أعداد نستخدم إحدى الطريقتين ( مجموعة المضاعفات أو التحليل إلى العوامل الأولية )
مثال : أوجد المضاعف المشترك الأكبر للأعداد 12 ، 16 ، 24 بطريقتين 0
الحل : طريقة مجموعة القواسم : طريقة التحليل إلى العوامل الأولية :
م12 = { 12 ، 24 ، 36 ، 48 ، 60 ، 72 ، 84 ، 96 .......... } 12 = 22 × 3
م 16 = { 16 ، 32 ، 48 ، 64 ، 80 ، 96 ، 112 ، 128 ................ } 16 = 42
م24 = { 24 ، 48 ، 72 ، 96 ، 120 ، 144 ، 168 ................. } 24 = 32 × 3
م12 ∩ م16 ∩ م24 = { 48 ، 96 ، ...................} م 0 م 0 أ = 42× 3 = 16 × 3 = 48
م 0 م 0 أ = 48
نستخدم المضاعف المشترك الأصغر في جمع وطرح الكسور ( وذلك لتوحيد مقامات الكسور باستخدام المضاعف المشترك الأصغر )
مثال : اجمع 512 + 718
الحل : 12 = 22 × 3 18 = 2 × 23 م 0 م 0 أ = 22 × 23= 4 × 9 = 36
نقسم 36 على مقام الكسر الأول أي 36 ÷ 12 = 3 ثم نضرب 3 في بسط ومقام الكسر الأول أي 5×312×3 = 1536
نقسم 36 على مقام الكسر الثاني أي 36 ÷ 18 = 2 ثم نضرب 2 في بسط ومقام الكسر الثاني أي 7×218×2 = 1436
نجمع 1536 + 1436 = 15+1436 = 2936 ( نستخدم نفس الطريقة في طرح كسرين )
حاصل ضرب عددين يساوي حاصل ضرب قاسمهما المشترك الأكبر في مضاعفهما المشترك الأصغر
مثال : عددان قاسمهما المشترك الأكبر 10 ومضاعفهما المشترك الأصغر 200 0 ما هو العدد الأول إذا كان العدد الثاني 40 ؟
الحل : ق 0 م 0 أ × م 0 م 0 أ = العدد الأول × العدد الثاني
10 × 200 = العدد الأول × 40
العدد الأول = 10×20040 = 200040 = 50


س1: أوجد م 0 م 0 أ لكل عددين فيما يلي بطريقتين : ( 20 )
العددان طريقة مجموعة المضاعفات طريقة التحليل إلى العوامل الأولية
15، 20 م15 = { ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ..................... }
م20 = { ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ..................... }
م15 ∩ م20 = { ... ، ... ، ........................ }
م 0 م 0 أ = ... 15 = ... × ...
20 = ... × ...
م 0 م 0 أ = ... × ... × ... = ...
40 ، 60 م40 = { ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ..................... }
م60 = { ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، ... ، .................... }
م40 ∩ م60 = { ... ، ... ، ... ، ... }
م 0 م 0 أ = ... 40 = ... × ...
60 = ... × ... × ...
م 0 م 0 أ = ... × ... × ... = ...

س2 : أوجد م 0 م 0 أ للأعداد 200 ، 240 ، 700
200 = ... × ... 240 = ... × ... × ... 700 = ... × ... × ...
م 0 م 0 أ = ... × ... ، ... ، ... = ...

س3: في الجدول التالي تمم عمليات الجمع والطرح التالية باستخدام م 0 م 0 أ
16 + 310
6 = ... × ...
10 = ... × ...
م 0 م 0 أ = ... × ... × ... = ...
... ÷ ... = ... ← 1×...6×... = ......
... ÷ ... = ... ← 3×...10×... = ......
...... + ...... = ...+...... = ......
415 + 518
15 = ... × ...
18 = ... × ...
م 0 م 0 أ = ... × ... × ... = ...
... ÷ ... = ... ← 4×...15×... = ......
... ÷ ... = ... ← 5×...18×... = ......
...... + ...... = ...+...... = ......
914 - 320
14 = ... × ...
20 = ... × ...
م 0 م 0 أ = ... × ... × ... = ...
... ÷ ... = ... ← 9×...14×... = ......
... ÷ ... = ... ← 3×...20×... = ......
...... - ...... = ...-...... = ......


س4: إذا كان س ، ص عددين ، ق قاسمهما المشترك الأكبر ، م مضاعفهما المشترك الأصغر 0 فأوجد قيمة المجهول :
ق = 6 ، م = ؟ ، س = 18 ، ص = 30
ق × م = س × ص
.... × .... = .... × ....
م = ....×........ = ...... = ....
ق = ؟ ، م = 40 ، س = 8 ، ص = 10
ق × م = س × ص
.... × .... = .... × ....
ق = ....×........ = ...... = ....
ق = 3 ، م = 48 ، س = ؟ ، ص = 24
ق × م = س × ص
.... × .... = .... × ....
س = ....×........ = ...... = ....

( 21 ) تمارين عامة
س1: ضع علامة ( صح ) أمام العبارة الصحيحة وعلامة ( خطأ ) أمام العبارة الخاطئة 0
1) العدد 48 هو المضاعف الخامس للعدد 6 ( ) 0 2) العدد 3 قاسم للعدد 624 ( ) 0
3) العدد 31 عدد أولي ( ) 0 4) أصغر قواسم العدد 1300 الأكبر من واحد هو 4 ( ) 0
5) العدد 8289 يقبل القسمة على 2 ، 3 ، 5 ( ) 0 6) لتبسيط الكسر نستخدم المضاعف المشترك الأصغر ( ) 0
7) لتوحيد مقامات الكسور نستخدم القاسم المشترك الأكبر ( ) 0 8) العددان 11 ، 13 أوليان فيما بينهما ( ) 0
9) العددان 29 ، 31 من التوائم الأولية ( ) 0 10) 2 قاسم لـ ( 8 + 12 ) ، ( 12 – 8 ) ( ) 0
11)مجموع مضاعفي عدد والفرق بينهما هما مضاعفان لهذا العدد ( ) 0
س2: في الجدول التالي أوجد ق 0 م 0 أ ، م 0 م أ فيما يلي :
84 ، 90
84 = .... × .... × .... 90 = .... × .... × ....
ق 0 م 0 أ = .... × .... = ....
م 0 م 0 أ = .... × .... × .... × .... = .... 33 ، 63 ، 78
33 = .... × .... 63 = .... × ....
78 = .... × .... × ....
ق 0 م 0 أ = ....
م 0 م 0 أ = .... × .... × .... × .... × .... = ....

س3: إذا كان س ، ص عددين ، ق قاسمهما المشترك الأكبر ، م مضاعفهما المشترك الأصغر 0 فأوجد قيمة المجهول :
ق = 7 ، م = ؟ ، س = 14 ، ص = 21
ق × م = س × ص
.... × .... = .... × ....
م = ....×........ = ...... = ....
ق = 5 ، م = ؟ ، س = 15 ، ص = 30
ق × م = س × ص
.... × .... = .... × ....
ق = ....×........ = ...... = ....
ق = 9 ، م = 72 ، س = 18 ، ص = ؟
ق × م = س × ص
.... × .... = .... × ....
س = ....×........ = ...... = ....

س4: ما أقصر طول شريط بحيث يمكن تقسيمه إلى عدد من القطع أطوال كل منها 3م أو 8م أو 12م ؟
3 = .... 8 = .... 12 = .... × ....
م 0 م 0 أ = .... × .... = .... ← طول أقصر شريط = ....م
س5 : اجمع ثم بسط الناتج 21100 + 2875
100 = ... × ... 75 = ... × ...
م 0 م 0 أ = .... × .... × .... = ....
ق 0 م 0 أ = ....
... ÷ ... = ... ← 21×...100×... = ......
... ÷ ... = ... ← 28×...75×... = ......
...... + ...... = ...+...... = ...... = ....÷........÷.... = ......
س6 : أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 18 ، 52 باستخدام القسمة المطولة :
... ÷ ... = ... والباقي ...
... ÷ ... = ... والباقي ...
... ÷ ... = ... والباقي ...
ق 0 م 0 أ = ...






































( 22 ) تعار يف
على الشكل المقابل نقطة نرمز لها بأحد الحروف الأبجدية ولتكن ب × ب
المستقيم : هو مجموعة غير منتهية من النقاط يمتد في اتجاهين
على الشكل المقابل مستقيم يمر في النقطتين س ، ص حيث نرمز له بالرمز س ص
نسمي المستقيم بأي نقطتين عليه فعلى الرسم المقابل نسمي المستقيم أ ب أو ب جـ أو أ جـ
كل نقطتين تحددان مستقيما واحدا فقط 0
المستوى : مجموعة غير منتهية من النقاط ويمتد في جميع الاتجاهات 0
نرمز للمستوى بحرف أبجدي بين قوسين مثل ( م ) أو ( ي )
لتمثيل المستوى : نمثل جزءا منه مثل صفحة الكتاب أو لوح السبورة كما في الشكل المقابل
المستوى ينطبق عليه المستقيم في جميع الأوضاع 0
نصف المستقيم : هو مجموعة غير منتهية من النقاط يمتد في اتجاه واحد إلى مالا نهاية
على الشكل المقابل نصف مستقيم بدايته النقطة س ويمر في النقطة ص إلى مالا نهاية
نرمز لنصف المستقيم في الشكل المقابل بالرمز [ س ص
على الشكل المقابل تسمى مجموعة النقاط الواقعة بين أ ، ب بما فيهما أ ، ب قطعة مستقيمة
نرمز للقطعة المستقيمة بالرمز [ أ ب ] 0حيث أن أ ، ب هما طرفا القطعة المستقية [ أ ب ]
للقطعة المستقيمة طول لأن لها بداية ولها نهاية ونرمز له بالرمز │ أ ب │
المستقيم ليس له طول لأنه ليس له بداية وليس له نهاية
نصف المستقيم ليس له طول لأن له بداية وليس له نهاية






س1: اكتب اسم ورمز كل من الأشكال التالية :


× ب

الاسم : .................. الاسم : .................. الاسم : .................. الاسم : ................... الاسم : .................. الرمز : ................. الرمز : ................. الرمز : ................. الرمز : ................. الرمز : .................


س2: ارسم كلا من الأشكال التالية :
مستقيم ب د نصف مستقيم [ و ق نقطة ل قطعة مستقية [ ح ن ]



س3 : من الشكل المقابل أملأ الفراغات بأحد الرموز ( = ، ∈ ، ∉ ، ⊂ ، ⊄ ) :
ب ...... ( م ) ب ...... س ص

س ط ...... س ص [ س ط ] ...... س ص

[ ب د ] ...... س ص د ط ...... ( م )

[ ط ص ] ...... [ ط ص س ...... [ د ط

( 23 ) الزوايا المتجاورة والزوايا المتقابلة بالرأس
على الشكل المقابل زاوية تتكون من :
1- رأس وهو ن 2- ضلعين هما [ ن س ، [ ن ص
نسمي الزاوية في الشكل المقابل س ن ص أو ص ن س أو ن

تكون الزاويتان متجاورتين إذا تحققت الشروط التالية :
1- لهما رأس مشترك وهو ن 0
2- لهما ضلع مشترك وهو [ ن ك 0
3- تقعان على جهتي الضلع المشترك [ ن ك 0
على الشكل المقابل : الزاويتان س ن ك ، ك ن ص متجاورتان لأن لهما رأس مشترك ن
و ضلع مشترك [ ن ك ، وهما على جهتي الضلع المشترك [ ن ك 0

تكون الزاويتان متقابلتين بالرأس إذا :
( كان كل ضلع من إحداهما امتدادا لضلع من الأخرى )
على الشكل المقابل : الزاويتان اللتان باللون الأحمر ب ن ي ، د ن و متقابلتان بالرأس 0
الزاويتان اللتان باللون الأخضر ب ن د ، ي ن و متقابلتان بالرأس 0

س1 : من الشكل المقابل أكمل الفراغات التالية :
1- نسمي الزاوية ذات الرقم 1 بالاسم .......... أو .......... أو ..........
2- نسمي الزاوية ذات الرقم 2 بالاسم .......... أو .......... أو ..........
3- نسمي الزاوية ذات الرقم 3 بالاسم .......... أو .......... أو ..........
4- الزاوية س م ص تجاور الزاوية ..........
5- الزاوية ع م ط تجاور الزاوية ..........
6- الزاوية ص م ع تجاور الزاوية .......... ، ..........
7- س م ص + ص م ع = ..........
8- ص م ع + ع م ط = ..........
9- س م ص + ص م ع + ع م ط = ..........


س2 : من الشكل المقابل : ( أ ) أكمل الفراغات التالية :
الزاويتان أ م ب ، .......... متقابلتان بالرأس 0
الزاويتان أ م و ، .......... متقابلتان بالرأس 0
الزاويتان أ م جـ ، .......... متقابلتان بالرأس 0
الزاوية أ م ب تجاور الزاويتين .......... ، ..........
الزاوية جـ م د تجاور الزاويتين .......... ، ..........
( ب ) استعمل المنقلة لكي تجد قياس كل من الزوايا التالية :
أ م و = ...... ، جـ م د = ...... ، أ م ب = ...... ، هـ م د = ...... ، ب م جـ = ...... ، و م هـ = ......
ماذا تلاحظ ؟ .................................................. ............................. 0
( 24 ) قياس الزوايا وأنواعها
الدرجة هي وحدة قياس الزاوية ورمزها ( 5 )
أنواع الزوايا :
زاوية حادة وقياسها أكبر من الصفر وأصغر من 590 0
زاوية قائمة وقياسها 590 0
زاوية منفرجة وقياسها أكبر من 590 وأصغر من 5180 0
زاوية مستقيمة وقياسها 5180 0

تكون الزاويتان متتامتين إذا كان مجموعهما زاوية قائمة 0
على الشكل المقابل نجد أن :
س م ص = 530 ، ص م ع = 560
س م ص + ص م ع = 530 + 560 = 590
أي أن س م ص ، ص م ع زاويتان متتامتان 0

تكون الزاويتان متكاملتين إذا كان مجموعهما زاوية مستقيمة 0
على الشكل المقابل نجد أن :
ك ن ط = 550 ، ط ن ل = 5130
ك ن ط + ط ن ل = 550 + 5130 = 5180
أي أن ك ن ط ، ط ن ل زاويتان متكاملتان 0

س1 : أوجد قياس كل من الزوايا التالية ثم حدد نوع كل منها :



س1: أكمل الجدول التالي :
الزاوية 540 570 564 50 590 5120
متممتها
مكملتها

س3: بدون استعمال المنقلة 0 أوجد قياس كل من الزوايا التالية


ك م ص = ...... ب ن د = ...... ك م ع = ......

( 25 ) المستقيمات المتعامدة
نقول عن مستقيمين أنهما متعامدان إذا كانت الزاوية بينهما قائمة ( 590 )
نرمز للتعامد بالرمز ┴
يستخدم مثلث الرسم في اكتشاف ورسم الزوايا القائمة والمستقيمات المتعامدة 0
أنواع مثلث الرسم
1- مثلث زواياه 590 ، 545 ، 545 ( يسمى مثلث قائم الزاوية ومتطابق الضلعين )
2- مثلث زواياه 590 ، 560 ، 530 ( يسمى مثلث ثلاثيني ستيني )
المسافة بين مستقيم ونقطة خارجة عنه:
هي طول القطعة المستقيمة العمودية من النقطة الخارجة إلى نقطة تقاطعها مع المستقيم 0
مثال : على الشكل المقابل :
المسافة بين المستقيم س ص والنقطة ب هي طول القطعة [ م ب ] 0


س1: ارسم المستقيمين المتعامدين س ص ، ع ط 0


س2 : على الشكل المقابل استخدم مثلث الرسم لكي تكتشف المستقيمات المتعامدة 0
ثم أكمل الفراغات التالية :
1- ....... ┴ .......
2- ....... ┴ .......
3- ....... ┴ .......



س3 : ارسم مستقيما ك ل 0 ثم عين نقطة ب تبعد عنه مسافة 3سم 0






س4 : على الشكل المقابل مستقيم س ص ونقطة د خارجة عنه 0
أوجد المسافة بين المستقيم س ص والنقطة د 0
المسافة بين س ص والنقطة د = ..... سم


( 26 ) إنشاءات هندسية
تتبع أنشطة الكتاب حتى تتعلم طرق رسم بعض الإنشاءات الهندسية باستخدام الفرجار والمسطرة فقط 0
س1: ارسم زاوية قياسها 550 باستخدام المسطرة والمنقلة 0 ثم انقل هذه الزاوية باستخدام الفرجار والمسطرة فقط 0





س2: ارسم مستقيما س ص ونقطة م واقعة عليه 0 ثم ارسم باستخدام الفرجار والمسطرة فقط عمودا ع ط على س ص ويمر في النقطة م 0





س3: ارسم مستقيما س ص ونقطة م لا تقع عليه 0 ثم ارسم باستخدام الفرجار والمسطرة فقط عمودا ع ط على س ص ويمر في النقطة م 0








س4: ارسم [ ب د ] 0 ثم ارسم المنصف العمودي لها باستخدام الفرجار والمسطرة فقط وسمه ع ط 0





س5: ارسم الزاوية س م ص والتي قياسها 560 0 ثم ارسم منصف لها وسمه [ م ك 0 ما قياس كل من الزاويتين س م ك ، ك م ص 0




س6 : على الشكل المقابل [ م د منصف للزاوية ب م ص 0
احسب قياس كل من الزاويتين ب م د ، د م ص 0
قياس ب م د = .......... 0
قياس د م ص = .......... 0

( 27 ) تمارين عامة
س1: أكمل الفراغات التالية :
1- نرمز للمستقيم الذي يمر بالنقطتين س ، ص بالرمز ............. 0
2- نرمز لنصف المستقيم الذي بدايته النقطة س ويمر في النقطة ص بالرمز ............. 0
3- نرمز للقطعة المستقيمة التي طرفاها النقطتين س ، ص بالرمز ............. 0
4- نرمز لطول القطعة المستقيمة التي طرفاها النقطتين س ، ص بالرمز ............. 0
5- الزاوية التي قياسها 562 تممها زاوية قياسها .................. 0
6- الزاوية التي قياسها 5135 تكملها زاوية قياسها .................. 0
7- تكون الزاويتين متقابلتين بالرأس إذا كان كل ......... من إحداهما .......... لـ ........... من الأخرى 0
8- تكون الزاويتين متجاورتين إذا كان لهما ........... مشترك و ............ مشترك وكانتا على ....................... 0
9- نقول عن مستقيمين أنهما متعامدان إذا كانت الزاوية بينهما ............. 0
10- المسافة بين مستقيم ونقطة خارجة عنه: هي ...... القطعة المستقيمة العمودية من النقطة ......... إلى نقطة .......... مع المستقيم 0
11- كل نقطتين تحددان ........... واحدا فقط 0
س2: أكمل الجدول التالي :
قياس الزاوية 560 590 591 589 5124 5180 5179
نوعها

س3: أكمل الجدول التالي :
الزاوية 530 573 589 510 5180 5133
متممتها
مكملتها


س4: على الشكل المقابل زاوية وقطعة مستقيمة 0
1- ارسم منصف الزاوية 0
2- العمود المنصف للقطعة المستقيمة 0

س5: على الشكل المقابل م ب ┴ م ك ، م د ┴ م ل
أثبت أن ب م د = ك م ل

لله يعطيك العافية